問題

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小PK

名望的居民

電梯直達

1^#

發表於 06-10-2 21:13:21 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

(1)將2160分解為標準分解式
1.2160的正因數中,最大的完全平方數為多少?
2.若n是小於2160的自然數,且(2160,n)=120則滿足條件的n共幾個?
(2)3^2006除以10的餘數為多少?
(3)滿足(n,300)=6,又不大於300的自然數n有幾個?
(4)2個自然數a,b 期和為15^2,且最大公因數為15.設a^2+b^2之最大值為
15^2*k,其中k為自然數,則k為多少?
(5)若有3質數滿足3數乘積為期和的17倍,則3個質數中最大者為多少?
(6)求2352的正因數為完全平方數者有幾個

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小沝

一般的鄉紳

2^#

發表於 06-10-2 23:35:47 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

(1)　1.　簡單的因式分解：　2160=2^4*3^3*5。

　　　2.　(2160,n)=120　→　(18,n/120)=1
　　　　　找n/120與18互質的數
　　　　　又　120≦n＜2160
　　　　　∴　1≦n/120＜18
　　　　　則　n=120*1,120*5,120*7,120*11,120*13,120*17
　　　　　共6個。

(2)　此題問的同等於其個位數字，
　　　3^1　個位數字　=3
　　　3^2　個位數字　=9
　　　3^3　個位數字　=7
　　　3^4　個位數字　=1
　　　3^5　個位數字　=3
　　　...
　　　得4次循環一次，2006/4=501…2
　　　由上往下數2，得9。

(3)　(n,300)=6　→　(n/6,50)=1
　　　找n/6與50互質的數
　　　又n為自然數且不大於300
　　　∴n/6≦50
　　　亦即找小於等於50且與50互質之數k
　　　k=1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39,41,43,47,49
　　　20個。

(6)　2352=2^4*3*7^2
　　　┌2^0,2^2,2^4
　　　├3^0
　　　└7^0,7^2
　　　→　3*1*2=6　。

某高一程度者的方法　...（或許還不到　...）

有誤歡迎指正。

[ 本文最後由小沝於 06-10-3 11:58 PM 編輯 ]

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a26926236

一般的居民

3^#

發表於 06-10-3 19:31:43 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

(4)2個自然數a,b 其和為15^2,且最大公因數為15.設a^2+b^2之最大值為
15^2*k,其中k為自然數,則k為多少?

設自然數a=15h  b=15r  且(h,r)=1
則 (15h)^2+(15r)^2=15^2*k |  15h+15r=225
=>225h^2+225r^2=225k    |=>h+r=15
               合併以上兩個算式得
h+r=15且h^2+r^2=k
所以將h=1 r=14 代入方程式
得到1^2+14^2=1+196=197(max)
   將h=7 r=8 代入方程式
得到7^2+8^2=113(min)

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a26926236

一般的居民

4^#

發表於 06-10-3 19:39:56 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

(5)若有3質數滿足3數乘積為期和的17倍,則3個質數中最大者為多少?

取3質數為a,b,c  得 17*(a+b+c)=abc
所以a,b,c中必有17的倍數又因為a,b,c是質數
設a=17 代入17*(a+b+c)=abc
得  17+b+c=bc
=>bc-b-c=17
=>(b-1)(c-1)=18
當b=2  c=19       當b=3  c=9 (不合)
當b=4  c=6 (不合) 當b=7  c=4 (不合)
當b=10 c=2(不合) 得a,b,c三數為17,2,19
得最大值為19