挑戰60

M.N.M.

1.求滿足下列條件的五位數的個數:任意兩個數位上的數字差的絕對值不小於2。

2.證明:數列10001，100010001，1000100010001，...中，每一個數都是合數

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-10-6 09:47 PM 編輯 ]

‧幻星〞

第1題

此五位數的組成有以下這些數字
02468個數→4*4*3*2*1=96
02469個數→4*4*3*2*1=96
02479個數→4*4*3*2*1=96
02579個數→4*4*3*2*1=96
03579個數→4*4*3*2*1=96
13579個數→5*4*3*2*1=120
96*5+120=600

600個

hydralisk

恕我無知

合數是什麼??

傲月光希

原文由 hydralisk 於 06-10-11 05:46 PM 發表
恕我無知

合數是什麼??

合數就是合成數，也就是可以由兩個大於1的數相乘所得，不同於質數，例如143=11*13

‧幻星〞

設
10001=A1
100010001=A2
1000100010001=A3
....
以此類推

分成A(2N-1)和A(2N)討論

A(2N-1)的部份

A(1)=73*137
A(2)=10000A1+1
A(3)=10000A2+1
...
A(M)=10000A(M-1)+1

其中
A(3)=10000A2+1=10000(10000A1+1)+1=A1的倍數+A1=A1的倍數
A(5)=10000A4+1=10000(10000A3+1)+1=A1的倍數+A1=A1的倍數

即是證明A(2N-1)中，N帶任何自然數A(2N-1)都可被A1整除
現在設A(2K-1)成立
則A(2(K+1)-1)=A(2K+1)=10000A(2K)+1
=10000(10000A(2K-1)+1)=A1的倍數+A1=A1的倍數
數學歸納法成立
所以A(2N-1)都是A1的倍數(N為自然數)
又A1是合數，所以A(2N-1)都是合數

A(2N)的部份
則A(2N)可以寫成
[10^(4*(2N+1))-1]/9999
=(10^(4N+2)+1)(10^(2N+1)+1)(10^(2N+1)-1)/9999
=(100(2N+1)+1)(10^(2N+1)+1)(10^(2N+1)-1)/9999
=(100+1)*M*(10+1)*S*(10-1)*R/9999
=9999MSR/999
=MSR

MSR的乘積為合數
即A(2N)為合數

總和兩點
得證！

M.N.M.

[解答]

1.‧幻星〞已解出

2.‧幻星〞已解出

在下的
10001=73*137為合數

設An=100010001...0001(n個0001)

n=1時，A1=1顯然成立

若n≧2

An=100010001...0001(n個0001)

=10^4n+10^4(n-1)+...+10^4+1

=[10^4(n+1)-1] /[ (10^4)-1)]

由於n≧2時，10^4-1 < 10^2(n+1)-1 < 10^2(n+1)+1

∴An是一個合數(∵分母不能將分子的任一數約為1)

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-10-21 05:36 PM 編輯 ]

hydralisk

原來10001=73*137
10001我實在是不太想找他的因數