挑戰61

M.N.M.

1.求 | x| + | y| < 100 之所有整數解組數？

2.使 26 整除 (5^1951) + a 的整數 a 之值為何？

傲月光希

原文由 M.N.M. 於 06-10-10 07:54 PM 發表
1.求 | x| + | y| < 100 之所有整數解組數？

1.
不失一般性，先討論x跟y同時為大於等於1的正整數組解，我們可以利用重覆組合來解

(x-1)+(y-1)+(z-1)=100-3=97 (這邊多設一個整數z是為了多出一個間隔使得前面加起來會小於100，其中z不得為0)

=>C(99,2)=99*98/2=4851

因為x跟y可以為負整數，所以共有(+,+),(+,-),(-,+),(-,-)四種組合

所以答案為4851*4=19404

接下來我們再來看至少一個為0的情況

若|x|+|y|=0，則(x,y)=(0,0)

若|x|+|y|=n，0<n<100，則至少一個0的情形有(x,y)=(0,n),(0,-n),(n,0),(-n,0)

n有99種，所以答案是99*4=396

結論，全部的可能解為19404+1+396=19801 (如果沒錯的話答案是這個)

2.使 26 整除 (5^1951) + a 的整數 a 之值為何？

略掉=ˇ=

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-10-10 08:54 PM 編輯 ]

‧幻星〞

|x|+|y|<100
且x,y都為整數
所以0≦|x|+|y|≦99
|x|範圍為0~99的整數
當
x=0
y範圍-99~99共199個
當x=1,-1
y範圍-98~98共197個
當x=2,-2
y範圍-97~97共195個
...
當x=98,-98
y範圍-1~1共3個
當x=99,-99
y範圍0共1個

故所有的解的數目為
2*(1+199)*100/2-199=19801

‧幻星〞

第二題
找規律
5^1≡ 5(mod26)
5^2≡ 25(mod26)
5^3≡ 21(mod26)
5^4≡ 1(mod26)
5^5≡ 5(mod26)
5^6≡ 25(mod26)
5^7≡ 21(mod26)
5^8≡ 1(mod26)
5^9≡ 25(mod26)

可知是四個一循環
1951≡3(mod4)
所以a應該為26k+5

M.N.M.

原文由 ‧幻星〞 於 06-10-10 08:43 PM 發表
a應該為26k+5

少補充K的定義域

‧幻星〞

原文由 M.N.M. 於 06-10-10 08:50 PM 發表

少補充K的定義域

K屬於整數