挑戰62

M.N.M.

1.在實數範圍內分解(x^4)+(x^3)+(x^2)+x+1

2.求證cos(pi/7)-cos(2pi/7)+cos(3pi/7)=1/2

hydralisk

第一題

(x^4)+(x^3)+(x^2)+x+1
==>(x^2+1)^2 - x^2 + x^3 +x
==>(x^2+1)^2 - x^2 + x(x^2+1)
令A =>x^2+1
所以 原式==>A^2 - X^2 + AX
==>(5/4)A^2 - (X+A/2)^2
==>{[5^0.5+1)/2]A - X}{[5^0.5+1)/2]A - X}
==>{[5^0.5+1)/2](x^2+1) - X}{[5^0.5+1)/2](x^2+1) - X}

傲月光希

原文由M.N.M. 於 06-10-21 12:25 PM 發表
2.求證cos(pi/7)-cos(2pi/7)+cos(3pi/7)=1/2

cos(pi/7)-cos(2pi/7)+cos(3pi/7)

=-[cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(8pi/7)]

=-2sin(pi/7)[cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(8pi/7)]/2sin(pi/7)

=-[sin(3pi/7)-sin(pi/7)+sin(5pi/7)-sin(3pi/7)+sin(9pi/7)-sin(7pi/7)]/2sin(pi/7)

=-[-sin(pi/7)+sin(5pi/7)+sin(9pi/7)]/2sin(pi/7)

=[sin(pi/7)-2sin(7pi/7)cos(2pi/7)]/2sin(pi/7)

=1/2

aeoexe

原文由傲月光希 於 06-10-22 12:21 PM 發表

cos(pi/7)-cos(2pi/7)+cos(3pi/7)

=-[cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(8pi/7)]

=-2sin(pi/7)[cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(8pi/7)]/2sin(pi/7)

=-[sin(3pi/7)-sin(pi/7)+sin(5pi/7)-sin(3pi/7)+sin(9pi/7)-sin(7pi/7)]/2sin(pi/7)

=-[-sin(pi/7)+sin(5pi/7)+sin(9pi/7)]/2sin(pi/7)

=[sin(pi/7)-2sin(7pi/7)cos(2pi/7)]/2sin(pi/7)

=1/2

完全看不明白的說...
OTZ.....
(只是知道有關於radian而已...)
中間的變換完全不明白,除了[sin(pi/7)-2sin(7pi/7)cos(2pi/7)]/2sin(pi/7)=1/2.....

M.N.M.

原文由aeoexe 於 06-10-22 02:22 PM 發表

完全看不明白的說...
OTZ.....
(只是知道有關於radian而已...)
中間的變換完全不明白,除了/2sin(pi/7)=1/2.....

中間的過程是用積化合差公式解的
2sinxcosy
=sin(x+y)+sin(x-y)
=sin(x+y)-sin(y-x)

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-10-22 03:08 PM 編輯 ]

aeoexe

原文由M.N.M. 於 06-10-22 03:06 PM 發表

中間的過程是用積化合差公式解的
2sinxcosy
=sin(x+y)+sin(x-y)
=sin(x+y)-sin(y-x)

開始明白了...
只是一開始的轉換有點不明白....
cos(pi/7)-cos(2pi/7)+cos(3pi/7)=-[cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(8pi/7)]
謝謝你...

M.N.M.

[解答]
1.令ω=cos(2pi/5)+isin(2pi/5)

則(x^4)+(x^3)+(x^2)+x+1

=(x-ω)(x-ω^2)(x-ω^3)(x-ω^4)

=[(x-ω)(x-ω^4)][(x-ω^2)(x-ω^3)]

=[x^2-x(ω+ω^4)+ω^5][x^2-x(ω^2+ω^3)+ω^5]

=(x^2-2xω+1)(x^2-2xω^2+1)

=[x^2-2xcos(2pi/5)+1][x^2-2xcos(4pi/5)+1]

={x^2- [(√5)-1/2]x +1} {x^2+ [(√5)-1/2]x +1}

2.傲月光希已解出