挑戰70(寒假活動

‧幻星〞

14.求(15+√220)^19 + (15+√220)^82的個位數

15-√220<1且小數前幾位為0

(15+√220)^19+(15-√220)^19尾數是5
由15-√220<1可知(15+√220)^19尾數是4.9多

同理(15+√220)^82尾數也是4.9多

所求為9

‧幻星〞

10.已知有5個正整數，其算數平均數為12，全距為18，中位數與眾數均為8，試問第二大的數之可能值有幾個?

設此五數從小排到大為A1,A2,A3,A4,A5
A3為中位數為8
若A4為8
則平均的最大值為(8*4+26)/5<12
A4不能為8且必大於8
A2一定是8(因8為眾數)
而會有以下幾種狀況
(A1,A2,A3,A4,A5)
=(8,8,8,10,26),
(7,8,8,12,25),
(6,8,8,14,24),
(5,8,8,16,23),
(4,8,8,18,22),
(3,8,8,20,21)
10,12,14,16,18,20共6個

傲月光希

10.已知有5個正整數，其算數平均數為12，全距為18，中位數與眾數均為8，試問第二大的數之可能值有幾個?

不失一般性，假設此5個正整數為a,b,c,d,e，其中a≦b≦c≦d≦e
由於眾數是8，因此8必定有2個以上
又由於中位數是8,因此c=8
a+b+c+d+e=60
a+b+d+e=52
a,b≦8，d,e≧8

因為全距為18，所以e-a=18

d=8，a+b+e=44，當a=1到8，b>8，所以不可能
d=9，a+b+e=43，當a=1到8，b>8，所以不可能
d=10，a+b+e=42，當a=8，e=26，則b=8
d=11，a+b+e=41，當a=1到8，不是b>8就是a>b，不可能
d=12，a+b+e=40，當a=7，e=25，則b=8
d=13，a+b+e=39，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=31且e-a=18，則a跟e不是整數
d=14，a+b+e=38，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=30且e-a=18，則a=6且e=24
...
當d是奇數，則a跟e都不是整數
d=16，a+b+e=36，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=28且e-a=18，則a=5且e=23
d=18，a+b+e=34，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=26且e-a=18，則a=4且e=22
d=20，a+b+e=32，因為8為眾數，因此b至少為8。e+a=24且e-a=18，則a=3且e=21

所以第二大的數可能有10、12、14、16、18、20

‧幻星〞

以下是修改過的..
22.設k為給定的正整數，試求最小正整數n，使得對任意n個整數，其中總存在兩個整數，它們的和或差被2k整除

除以2k的餘數有2k種
分別是0,1,2,3....2k-1

分成K組
第1組(0,k)
第2組(1,k+1)
第3組(2,k+2)
...
第K組(k-1,2k-1)

若這n個數有兩個數再締2組到第K組中的同一組
則這n個數中必存在兩個整數，它們的和或差被2k整除

但在第1組則需要3個數才符合這點
故所求為k+2

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-10 09:28 PM 編輯 ]

turnX

12.設x，y，z是三個不同的互質的自然數，且任意兩數之和能被第三數整除，試
求這三個數


設x<y<z (因為x,y,z不相同)
(y+z)/x,(z+x)/y,(x+y)/z都是自然數
先考慮最小的一個

1<=(x+y)/z<(z+z)/z=2
因此(x+y)/z=1 表示x+y=z
再討論 (z+x)/y 因為 y|(z+x) 即 y|(y+2x)
因此 y|2x 最後 1<=2x/y<2y/y=2
所以2x/y=1,也就是y=2x
也就是此三數為x,2x,3x 又此三數兩兩互質所以x=1

所以要求的三數為1,2,3

Ans:1,2,3

傲月光希

13.設a、b、c均為整數，若a+b+c=3，(a^3)+(b^3)+(c^3)=3，求│a│+│b│+│c│之最大值

[(√a)^2+(√b)^2+(√c)^2][(a^1.5)^2+(b^1.5)^2+(c^1.5)^2]≧(a^2+b^2+c^2)^2
=> 3*3≧(a^2+b^2+c^2)^2
=> -3≦a^2+b^2+c^2≦3

[|a|^2+|b|^2+|c|^2](1^2+1^2+1^2)≦(|a|+|b|+|c|)^2
令A=[|a|^2+|b|^2+|c|^2]
則-3A≦(|a|+|b|+|c|)≦3A
因此，當A=3時，|a|+|b|+|c|有最大值3*3=9

turnX

原文由M.N.M. 於 07-1-29 12:49 PM 發表
16.設f(x)是一個98次的多項式，使得
f(k)=1/k        ，k=1，2，3，...99
求f(100)的值

令g(x)=x*f(x)-1
g(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)...(x-99)
由於f(x)是一個98次的多項式
得k=1/99!,於是f(x)=((1/99!)(x-1)(x-2)...(x-99)+1)/x
所以f(100)=(1+1)/100=1/50

天下聖凱

24.  2X+2Y+Z=n有28組正整數解

得知解中XYZ皆≧1 =>2X≧2，2Y≧2

∴2X+2Y+Z=(n-5)隻非負整數解亦有28組

H(3,n-5)=28 =>C(n-3,2)=28

[(n-3)(n-2)]/2=28

n=10#

turnX

原文由M.N.M. 於 07-1-29 12:49 PM 發表
24.n是一個正整數。關於x，y，z的方程2x+2y+z=n有28組正整數解，那麼n為何?

首先先針對(x,y)做討論
(x,y)  1   2   3   4   5   6   7   8
  1    4   6   8  10  12  14  16  18
  2    6   8  10  12  14  16  18  
  3    8  10  12  14  16  18
  4   10  12  14  16  18
  5   12  14  16  18
  6   14  16  18
  7   16  18
  8   18
(剩下的可以由z來補齊)
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
1+2+3+4+5+6=21
1+2+3+4+5+6+7=28 (共28解)
所以n可能的數有 17及18
16不行是因為z要為正整數至少要1
19以上包括19也不行因為已經到第8層,有36解(28+8=36)
Ans: 17,18

[ 本文最後由 turnX 於 07-1-30 06:05 PM 編輯 ]

‧幻星〞

25.滿足mn≧0，(m^3)+(n^3)+99mn=33^3的有序整數對(m，n)有多少對?

m^3+n^3-33^3+99mn=0
(m+n-33)(m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n)=0
(m+n-33)*1/2*[(m-n)^2+(33+m)^2+(33+n)^2]=0
(m+n-33)=0時
(m,n)有34組解
[(m-n)^2+(33+m)^2+(33+n)^2]=0時
(m,n)有一組解
所求為34+1=35