挑戰70(寒假活動

神光

1.求不定方程(x^3)-(y^3)=xy+61的正整數解 .

x^3 - y^3=xy+61
(x-y)^3+3yx^2-3xy^2-xy=61
(x-y)^3+xy[3(x-y)-1]=61

=> 0 < (x-y)^3 < 61
     0 < x-y < 3.936
=> x-y=1 或 2 或 3

當 x-y=1 , 1^3+xy[3(1)-1]=61
                                     xy=30
所以, x=6 , y=5

當 x-y=2 , 2^3+xy[3(2)-1]=61
                                     xy=53/5
但x,y也是正整數,所以無解.

當 x-y=3 , 3^3+xy[3(3)-1]=61
                                     xy=34/8=17/4
同樣地無解.

所以,(x^3)-(y^3)=xy+61的正整數解 是 x=6 和 y=5

turnX

23.如果m和n是正整數，滿足
(m+n)/[(m^2)+mn+(n^2)]=4/49
則m+n=?

首先先整理式子
[(m^2)+mn+(n^2)]/(m+n)=49/4

(m+n)-(mn)/(m+n)=12+1/4 (不合)
從此我們得知m+n是4的倍數
所以我們下一個測16

(m+n)-(mn)/(m+n)=16-15/4=16-60/16
而mn最大值是8*8=64>60
所以我們有希望找到一個mn其值為60
在尋找過後發現當m=6,n=10或m=10,n=6時符合其解

再來我們想知道是否後面還有解,我們看當m+n=20

(m+n)-(mn)/(m+n)=20-31/4=16-155/16
而此時mn最大為10*10=100<155
因此我們無法找到一mn數可以到達155

當m+n=24

(m+n)-(mn)/(m+n)=24-47/4=16-282/16
而此時mn最大為12*12=144<282
因此我們無法找到一mn數可以到達282

所以往後的解也都是一樣
因此,我們得以確定解為m=6,n=10或m=10,n=6

所以m+n=16

Ans:16

tzhau

19.已知x，y∈[-π/4，π/4]，a為實數，且(x^3)+sinx-2a=0，4(y^3)+sinycosy+a=0，求cos(x+2y)的值
sol:  4(y^3)+sinycosy+a=0 左右同乘以2得
　　　
　　　(2y)^3+sin2y+2a=0
      
　　　設f(t)=t^3+sint+2a →f '(t)=3t^2+cost >0
　　　
　　　由(x^3)+sinx-2a=0 知 f(x)=2a
　　　
　　　由(2y)^3+sin2y+2a=0 知 f(-2y)=2a → f(x)=f(-2y)
　　　
　　　因為 f 為 increasing 在 [-π/4，π/4]  所以x=-2y
　　　
　　　所求cos(x+2y)=cos 0 = 1

tzhau

23.如果m和n是正整數，滿足(m+n)/[(m^2)+mn+(n^2)]=4/49，則m+n=?

　sol:令m+n=4k，m^2+mn+n^2=49k，k屬於N

　　　因為mn=[(m+n)^2]-[(m^2)+mn+(n^2)]=16k^2-49k > 0　→　k>3 (因為m，n屬於N)

　　　又mn=[(m+n)/2]^2-[(m-n)/2]^2 → 0 <= [(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2-mn=(4k/2)^2-[(16k^2)-49k]

　　　→49k-12k^2 >= 0 → k<=4

　　　故3<k<=4，k屬於N， 因此k=4

　　　所求m+n=4k=16

tzhau

6.若函數f(x)=(-1/2)(x^2)+(13/2)在區間[a，b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a，b]

sol:我們可從幾部份討論 (i)a<0，b<0 (ii)a<0，b=0 (iii)a<0，b>0(iv)a=0，b>0 (v)a>0，b>0

　　由題知函數頂點為(0，13/2)，且對稱y軸

　　對a而言，f(a)=(-1/2)(a^2)+(13/2)=2a　→ a=-2±根號17  同理b也是  →因此(i)(v)為不可能

　　故所求[a，b]可能為[-2-根號17，0]、 [-2-根號17，-2+根號17]、[0，-2+根號17]

神光

5.在△ABC中，AB=33cm，AC=21cm，BC=m cm，m為整數，又在AB上可找到D，在AC上可找E，使AD=DE=EC=n cm，n為整數，問m可取那些值?



設∠BAC=θ .
從 cosine law, 得知
m^2=33^2 + 21^2 -2*33*21cosθ
cosθ=(1530-m^2)/1386

n^2=n^2 + (21-n)^2 - 2*n*(21-n)cosθ
cosθ=(21-n)/2n

∴ (1530-m^2)/1386=(21-n)/2n
    3060n - 2nm^2=29106 - 1386n
    2223n - nm^2=14553
                     n=14553/(2223-m^2)

由圖, 21/2 <= n <= 21

∴     2/21 >= (2223-m^2)/14553 >= 1/21
        -1386 <= m^2-2223 <= -693
           837 <= m^2 <= 1530
          28.9 <= m <= 39.1

∴m 的可能值是 29至39 所有的正整數.

‧幻星〞

13.設a、b、c均為整數，若a+b+c=3，(a^3)+(b^3)+(c^3)=3，求│a│+│b│+│c│之最大值

將c=3-a-b代入
(a^3)+(b^3)+(c^3)=3
整理式子之後可得
(a+b)(ab-3a-3b+9)=8
即(3-a)(3-b)(3-c)=8
因為a,b,c都為整數
所以((3-a),(3-b),(3-c))=(1,1,8),(1,2,4),(2,2,2)[順序可以調換]
將三組數代入會發現
((3-a),(3-b),(3-c))=(1,1,8)時
(a,b,c)=(4,4,-5)[順序可以調換]
((3-a),(3-b),(3-c))=(1,2,4)時
(a,b,c)無解
((3-a),(3-b),(3-c))=(2,2,2)時
(a,b,c)=(1,1,1)[順序可以調換]

所以|a|+|b|+|c|最大值為|4|+|4|+|-5|=13

[ 本文最後由 ‧幻星〞 於 07-2-1 10:43 PM 編輯 ]

‧幻星〞

11.已知x和y都是正整數，它們的常用對數的尾數之和等於1，(x^2)y的常用對數
的首數是3。求x，y的值

因為log yx^2首數為3
所以1000≦yx^2<10000

log x+log y為整數
log xy為整數

當xy=10
(x,y)沒有解

當xy=100時
(x,y)=(50,2),(25,4),(20,5)

當xy=1000時
(x,y)=(2,500),(4,250),(8,125)

當xy=10000時
(x,y)沒有解

所以(x,y)=(50,2),(25,4),(20,5),(2,500),(4,250),(8,125)

[ 本文最後由 ‧幻星〞 於 07-2-3 04:00 PM 編輯 ]

silver feather

21.
解Sol：
(一)、算出全部組合情況n(S)：
C12取3=220

(二)、算出不夠錢的情況數n(A)'：
(1).[1.1.1]=1
(2).[2.2.2]=1
(3).[2.1.1]=3*3=9
(4).[2.2.1]=3*3=9
(5).[5.1.1]=3*3=9
(6).[5.2.1]=3*3*3=27
(7).[5.2.2]=3*3=9

(三)、算出不夠錢的機率P(A)'：
  (1+1+9+9+9+27+9)/220
=65/220
=13/44

(四)、利用所有機率合=1解出至少夠錢之機率P(A)：
1-(13/44)=31/44

Ans：她取出的硬幣至少夠付巧克力的錢的機率為31/44

煩請M.N.M.大大無論是否正確都給一封PM...感謝!!!

[ 本文最後由 silver feather 於 07-2-5 07:53 PM 編輯 ]

‧幻星〞

方法有點爛..

17.若m，n均為正整數，則[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的最大值為?

如果m+n為定值，
則m和n越靠近1/[(m+1)(n+1)]會越小
即[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}越大
現在分成m=n和m=n+1討論
當m=n時
將(m,n)=(1,1),(2,2)....(k,k)代入
會發現[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的值
(1,1)會大於(2,2)大於(3,3).....大於(k,k)
且(1,1)-(2,2)大於(2,2)-(3,3)大於(k-1,k-1)-(k,k)
可以知道當m=n時，m=n=1可以讓[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的值最大為1/12

當m=n+1時
將(m,n)=(2,1),(3,2)....(K+1,K)代入
會發現[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的值
(2,1)會等於(3,2)會大於(4,3)大於(5,4).....大於(k+1,k)
且(3,2)-(4,3)大於(4,3)-(5,4)大於(k,k-1)-(k+1,k)
可以知道當m=n+1時，m=2,n=1或是m=3,n=2可以讓[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的值最大為1/12

故[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}最大值為1/12