挑戰70(寒假活動

silver feather

23.
解Sol：
(一).整理算式：
原式→(m+n)/[(m+n)^2－mn]=4/49
　　→(m+n)：[(m+n)^2－mn]=4：49

(二).令(m+n)＝4t、[(m+n)^2－mn]=49t [t=1.2.3．．．] 算出mn，再因m,n屬於正整數求出組合數代回驗算：
(1).t=1→m+n=4　16-mn=49→mn=-33 (不合，∵mn＞0)
(2).t=2→m+n=8　64-mn=98→mn=-34 (不合，∵mn＞0)
(3).t=3→m+n=12　144-mn=147→mn=-3 (不合，∵mn＞0)
(4).t=4→m+n=16　256-mn=196→mn=60
　　[m,n]=[1,60]or[60,1] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[2,30]or[30,2] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[3,20]or[20,3] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[4,15]or[15,4] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[5,12]or[12,5] (不合，∵m+n=16)
　　[m,n]=[6,10]or[10,6]
　　∴m+n=16
(5).t=5→m+n=20　400-mn=245→mn=155
　　[m,n]=[1,155]or[155,1] (不合，∵m+n=20)
　　[m,n]=[5,31]or[31,5] (不合，∵m+n=20)
(6).t=6→m+n=24　576-mn=294→mn=282
　　[m,n]=[1,282]or[282,1] (不合，∵m+n=24)
　　[m,n]=[2,141]or[141,2] (不合，∵m+n=24)
　　[m,n]=[3,94]or[94,3] (不合，∵m+n=24)
　　[m,n]=[6,47]or[47,6] (不合，∵m+n=24)
由此(5).(6).可以得知mn有增大之趨勢，且必定不符合原假設

Ans：m+n=16

煩請M.N.M.大大無論是否正確都給一封PM...感謝!!!

turnX

17.若m，n均為正整數，則[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}的最大值為?

f(m,n)=[1/(m+n+1)]-{1/[(m+1)(n+1)]}

對f(m,n)做偏微分

  d f(m,n)/dm = 1/((m+1)^2*(n+1))-1/(m+n+1)^2
  d f(m,n)/dn = 1/((n+1)^2*(m+1))-1/(m+n+1)^2

當d f(m,n)/dm=d f(m,n)/dn=0 時有極值
1/((m+1)^2*(n+1))-1/(m+n+1)^2=1/((n+1)^2*(m+1))-1/(m+n+1)^2
=>1/(m+1)=1/(n+1)
=>m=n

所以知道當m=n時有極值發生

代入f(1,1)=1/12=0.083333
代入f(2,2)=4/45=0.088888
代入f(3,3)=9/112=0.080357
代入f(4,4)=16/225=0.071111

觀察後可發現在f(2,2)時有最大值

Ans:所以m=n=2時有最大值0.088888 (4/45)

不知道對不對,也是硬著頭皮算
總覺得不夠嚴謹,算了...XD

andyliu941642

24.n是一個正整數。關於x，y，z的方程2x+2y+z=n有28組正整數解，那麼n為何?
以下討論n為偶數
若n最後算出為10
則實際n應為10和9
因為如果n為6
則x=1，y=1，n=2
但如果n為5
則x=1，y=1，n=1
也和
如果x+y=5   x，y共有4組正整數解（5-1=4）
如果x+y=n   x，y共有n-1組正整數解
假設2x+2y+z=10  
則先再假設z=2
2x+2y=8   x+y=4   x，y有3組正整數解
假設z=4
2x+2y=6   x+y=3   x，y有2組正整數解
假設z=6   
則x，y有1組正整數解
2x+2y+z=10   x，y，z共有6組正整數解（1+2+3=6）
2x+2y+z=12   x，y，z共有10組正整數解（1+2+3+4=10）
梯形公式：1+2+3+...+k=（1+k）*k/2
2x+2y+z=10   x，y，z共有6組正整數解
其中（10-2）/2-1=3
k=3帶入梯形公式
得（1+3）*3/2=6
2x+2y+z=12   x，y，z共有10組正整數解
若12為未知數設為a
則依照上面的步驟得（a-2）/2-1
k=（a-2）/2-1帶入梯形公式
會得（1+（a-2）/2-1）*（（a-2）/2-1）/2=28
→太複雜 所以用1+2+3+...+k代替
1+2+3+...+k=10←共有10組正整數解
已知1+2+3+4=10
則k=4
（a-2）/2-1=4
a=12
2x+2y+z=n有28組正整數解
再依上面步驟：
1+2+3+...+（n-2）/2-1=28
28=1+2+3+4+5+6+7
（n-2）/2-1=7
（n-2）=16
n=18
18-1=17
答：17，18
打了好多  感覺越用越複雜
用說的會簡單許多...

[ 本文最後由 andyliu941642 於 07-2-10 06:38 AM 編輯 ]