方程式

coastd54703

1.若n為實數，則當聯立方程組  nx+y=1，ny+z=1，x+nz=1   無解時n為？
(A)-1
(B)0
(C)1
(D)0或1
(E)1/2

2.試問滿足下列方程式：
   x+2y+4z=12
   xy+4yz+2xz=22
   xyz=6
之(x,y,z)共有幾組解？
(A)無
(B)1
(C)2
(D)4
(E)6

3.設新計分方法：對一題得5分，錯的不計分，沒有作答的題目每題可得2分。
     舊計分方法：從30分開始算，答對一題得4分，錯一題倒扣1分，沒有作答，則不給分也不扣分。
John在今年某考試(共30題)中得了93分，若以舊的計分方法算，他可以得到84分，則他有幾題沒有作答？
(A)6
(B)9
(C)11
(D)14
(E)以上皆非

4.有4個整數，若任取 3個數相加，其和分別為180,197,208,222，則這4個整數最大為下列何者？
(A)77
(B)83
(C)89
(D)95
(E)條件不足，無法判斷

5.試求最小的整數k，使得2x(kx-4)-x^2+6=0沒有實數解？
(A)-1
(B)2
(C)3
(D)4
(E)5

6.若p,q皆為質數且x^2-px+q=0有相異正整數根，則下列敘述何者為真？
a.兩根之差為奇數
b.至少有一根為質數
c.p^2-q為一質數
d.p+q為一質數
(A)只有a
(B)只有b
(C)只有b.c
(D)只有a.b.d
(E)a.b.c.d皆對

7.c屬於R，今知x^2-3x+c=0之一根和x^2+3x-c=0之一根互為相反數(即兩數之正負號相反)，
　則試問x^2-3x+c=0之兩根為下列何者？
(A)1,2
(B)-1,-2
(C)0,3
(D)0,-3
(E)3/2,3/2

8.使得方程式x^2+ax+1=0與x^2-x-a=0有相同實根之a值，共有幾個？
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(E)無限多個

9.若方程式x^2+px+q=0的兩根，恰好為x^2+mx+n=0的兩根的三次方，則試問何者正確？
(A)p=m^3+3mn
(B)p=m^3-3mn
(C)p+q=m^3
(D)(m/n)^3=p/q
(E)以上皆非

10.若a,b,c,d均不為零，且已知c,d為x^2+ax+b=0的解，而a,b為x^2+cx+d=0的解，則a+b+c+d為下列何者？
(A)0
(B)-2
(C)2
(D)4
(E)-1+根號5/2

11.設a,b為正整數，若方程式x^2+ax+2b=0和x^2+2bx+a=0都有實根，試求a+b的最小可能值？
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
(E)6

12.滿足(x-3)^2+(y-3)^2=6，且x,y屬於R的y/x最大值為下列何者？
(A)3+2根號2
(B)2+根號3
(C)3根號3
(D)6
(E)6+2根號3

13.已知x^2-px+q=0之兩根為tanA,tanB，x^2-rx+s=0之兩根為cotA,cotB，則rs等於？
(A)pq
(B)1/pq
(C)p/q^2
(D)q/p^2
(E)p/q

coastd54703

這是AMC12的試題...是2000年的...很古老了....這是我從書本上一題一題打下來的= =...
不過感覺都很難的樣子！

coastd54703

5.  11/6 <k 取k=2



(B)2



6.設兩根a,b



p=a+b  q=ab  p,q為質數



=>a,b有一為1,有一為質數q



又質數p=a+b=>a,b為1,2



=>(E)a.b.c.d皆對



7.a,b為x^2-3x+c=0之根         -a,d為x^2+3x-c之根



設  x^2-3x+c=0=(x-a)(x-b)



         x^2+3x-c=0=(x+a)(x-d)



=>c=ab   c=ad   -a-b=-3   a-d=3



b+d=0=>c=a=0 or b=d=0



(C)0,3



8.整理可得a^3-3a-2=0



a=2or-1



(C)2

coastd54703

1.2.3.4我又算出來了！

一次聯立方程組
1.若n為實數，則當聯立方程組 nx+y=1，ny+z=1，x+nz=1 無解時n為？
把三個方程式相加得新方程式
(n+1)(x+y+z)=3
所以當n=1時無解

Ans:(C)1


2.試問滿足下列方程式：
x+2y+4z=12
xy+4yz+2xz=22
xyz=6
之(x,y,z)共有幾組解？
xy+4yz+2xz=22
為xy+2z(2y+x)=22
而xy=6/z，(2y+x)=12- 4z
8z^4-24z^2+22x-6=0
(z-1)(2z-1)(2z-3)=0，
z=1或1/2或3/2，
我們將z分別代入這三個方程式，
我發現各會得到2個解！
所以是6組解
答案(E)


3.設新計分方法：對一題得5分，錯的不計分，沒有作答的題目每題可得2分。舊計分方法：從30分開始算，答對一題得4分，錯一題倒扣1分，沒有作答，則不給分也不扣分。
John在今年某考試(共30題)中得了93分，若以舊的計分方法算，他可以得到84分，則他有幾題沒有作答？
設答對x題，答錯y題，沒有作答(30-x-y)
新計分 5x+2(30-x-y)=93
舊計分 4x-y=84-30=54
兩式聯立得解x=15，y=6
所以有30-15-6=9題沒有作答
Ans:(B)9


4.有4個整數，若任取 3個數相加，其和分別為180,197,208,222，則這4個整數最大為下列何者？
設a,b,c,d四個整數
a+b+c=180
a+c+d=197
a+b+d=208
c+b+d=222
四式相加a+b+c+d=269
得解 a=269-222=47
b=269-197=72
c=269-208=61
d=269-180=89
所以整數最大為89
Ans:(C)89

coastd54703

13題我自己解出來的！
13.已知x^2-px+q=0之兩根為tanA,tanB，x^2-rx+s=0之兩根為cotA,cotB，則rs等於？
(A)pq
(B)1/pq
(C)p/q^2
(D)q/p^2
(E)p/q

tanA tanB=p
tanAtanB=q
cotA cotB=r
cotAcotB=s
rs=cotA cotB(cotAcotB)
=(1/tanA 1/tanB)1/tanA乘上1/tanB
=tanA tanB/tanAtanB乘上1/tanAtanB
=tanA tanB/(tanAtanB)^2
=p/q^2---(C)

coastd54703

8~12題麻煩各位大大打上詳解！
剩下5題了！
加油！

M.N.M.

原文由coastd54703 於 07-2-3 01:16 AM 發表
1.2.3.4我又算出來了！

一次聯立方程組
1.若n為實數，則當聯立方程組 nx+y=1，ny+z=1，x+nz=1 無解時n為？
把三個方程式相加得新方程式
(n+1)(x+y+z)=3
所以當n=1時無解

Ans:(C)1

應該是n=-1才對

因為0不等於3
------------------------------------
8.設k為相同的實根
k^2+ak+1=k^2-k-a
(a+1)k=-a-1
k=-1代入x^2+ax+1=0
1-a+1=0
=>a=2
只有一種可能


9.
設a^3，b^3為x^2+px+q=0的兩根，則x^2+mx+n=0的兩根為a，b
a^3+b^3=-p
(ab)^3=q
a+b=-m
ab=n

(a+b)^3=(a^3)+(b^3)+3ab(a+b)
=>-m^3=-p+3n(-m)
=>p=(m^3)-3nm


10.
c+d=-a
cd=b
a+b=-c
ab=d
a+c+d=a+b+c
=>b=d
又b=cd，ab=d，所以a=c=1
a+b+c+d=-c-a=-2


11.
用判別式解
(a^2)-8b≧0
a^2≧8b
4(b^2)-4a≧0
b^2≧a
a^4≧64b^2≧64a
a^3≧64
a≧4
=>b≧2
a+b≧2+4=6

12.
設y/x=k，y=kx
(x-3)^2+(y-3)^2=6
=>(x-3)^2+(kx-3)^2=6
=>[(k^2)+1](x^2)-6(k+1)x+12=0
∵x為實數
∴判別式≧0
36[(k+1)^2]-48[(k^2)+1]≧0
(k^2)-6k+1≦0
3-2√2≦k≦3+2√2

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-4 12:06 AM 編輯 ]

coastd54703

嗯！
那裡是n=-1時，才會無解！
謝謝囉！
我打錯了！

coastd54703

我覺得有個地方有疑問耶！
第9題！
9.若方程式x^2+px+q=0的兩根，恰好為x^2+mx+n=0的兩根的三次方，則試問何者正確？
(A)p=m^3+3mn
(B)p=m^3-3mn
(C)p+q=m^3
(D)(m/n)^3=p/q
(E)以上皆非

9.
設a，b為x^2+px+q=0的兩根，則x^2+mx+n=0的兩根為a^3，b^3
a+b=-p
ab=q
a^3+b^3=-m
(ab)^3=n
(a+b)^3=(a^3)+(b^3)+3ab(a+b)
=>-m^3=-p+3n(-m)
=>p=(m^3)-3nm


根據數學魔法師寫的....
若方程式x^2+px+q=0的兩根，恰好為x^2+mx+n=0的兩根的三次方...
根據這句話....
不是要相反設...
設a^3，b^3為x^2+px+q=0的兩根，則x^2+mx+n=0的兩根為a，ba^3，b^3
= =...
題目的意思到底是哪個？
有人可以跟我說明一下嗎？！

M.N.M.

原文由coastd54703 於 07-2-3 11:56 PM 發表
我覺得有個地方有疑問耶！
第9題！
9.若方程式x^2+px+q=0的兩根，恰好為x^2+mx+n=0的兩根的三次方，則試問何者正確？
(A)p=m^3+3mn
(B)p=m^3-3mn
(C)p+q=m^3
(D)(m/n)^3=p/q
(E)以上皆非

9.
設a，b為x^2+px+q=0的兩根，則x^2+mx+n ...

呵呵

是在下在假設的地方打反了(眾毆

反過來後照一樣的方法解就行了

根與系數關係在這類型的解題很有用的XD