挑戰71

M.N.M.

1.求函數f(x)=sinx(1+cosx)在開區間(0，2π)的極值

2.求出所有邊長為整數，其面積值等於周長數值的矩形

tzhau

2.求出所有邊長為整數，其面積值等於周長數值的矩形

設邊長為x和y

由題意可得方程式 xy=2(x+y)

                     2x+2y-xy=0

                     x(2-y)+2y=0
                  
                     2(y-2)-x(y-2)=-4

                     (2-x)(y-2)=-4

                     (x-2)(y-2)=4

因為x、y為整數  故解(x，y)有(3，6)(4，4)(6，3)

所求:一種為邊長為4的正方形和一種邊長為6和3的長方形  

                                                                                                      不知道對不對= =...似乎沒這麼簡單

[ 本文最後由 tzhau 於 07-2-8 07:40 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-2-8 06:24 PM 發表
1.求函數f(x)=sinx(1+cosx)在開區間(0，2π)的極值

對f(x)做微分
f'(x)=cosx(1+cosx)-sinx*sinx
f'(x)=2cosx*cosx+cosx-1
知當cosx=-1 or cosx=1/2時有極值發生
知x=π,π/3 or -π/3
經過計算後發現在x=π/3時有極大值在(π/3,(3√3)/4)
在x=-π/3時有極小值在(-π/3,-(3√3)/4)
在x=π時存在一反曲點其值為0在(-π,0)

好吧...值域[-(3√3)/4,(3√3)/4]

極大值在(π/3,(3√3)/4)
極小值在(-π/3,-(3√3)/4)

[ 本文最後由 turnX 於 07-2-8 09:45 PM 編輯 ]

tzhau

1.求函數f(x)=sinx(1+cosx)在開區間(0，2π)的極值

將函數f(x)微分後可得函數f '(x)=cosx(1+cosx)+sinx(-sinx)=(cosx)^2+cosx-(sinx)^2

                                     =(cosx)^2+cosx-[1-(cosx)^2]=2(cosx)^2+cosx-1

                                     =(2cosx-1)(cosx+1)

            二次微分後可得f ''(x)=-4cosxsinx-sinx=-sinx(4cosx+1)

所以當x=-丌/3、丌/3時f(x)=0，其中x=丌為反曲點

但依題意需在開區間(0，2丌)

故x=-丌/3需改為5丌/3

f(5丌/3)=sin(5丌/3)[1+cos(5丌/3)]=(-根號3/2)(1+1/2)=-3根號三/4.................相對極小值

f(丌/3)=sin(丌/3)[1+cos(丌/3)]=(根號3/2)(1+1/2)=3根號三/4.........................相對極大值


                                                                                              這題也是硬湊出來的(泣)

[ 本文最後由 tzhau 於 07-2-8 11:42 PM 編輯 ]

神光

原文由M.N.M. 於 07-2-8 06:24 PM 發表
1.求函數f(x)=sinx(1+cosx)在開區間(0，2π)的極值

f(x)=sinx(1+cosx)=sinx + 1/2(sin2x)
f'(x)=cosx + cos2x
     =2(cosx)^2+cosx-1
     =(2cosx-1)(cosx+1)
Set         f'(x)=0, => x=π/3 , 5π/3 , π

f''(x)= -sinx - 2sin2x
When x=π/3 , f''(x) <0
∴f(x) attains its maximum value at x=π/3. Its maximum value = f(π/3) = (3√3)/4

When x=π , f''(x)=0
∴x=π is an inflection point.

When x=5π/3 , f''(x) >0
∴f(x) attains its minimum value at x=π/3. Its minimum value = f(5π/3) = -(3√3)/4