一題高斯二題方程

M.N.M.

1.求所有實數a，使得 [ ( √(n+a ) ) +1/2]=[( √n) +1/2]
對一切正整數n都成立
[ ]表高斯符號

2.
2(z^10)+4(z^2)+1=0在單位圓│z│小於等於1內有
   (A)三根  (B)四根  (C)二根  (D)一根

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傲月光希

1.求所有實數a，使得 [ ( √(n+a ) ) +1/2]=[( √n) +1/2]
對一切正整數n都成立
[ ]表高斯符號

由高斯的性質可以得知

[√n+1/2]≦√(n+a)+1/2<[√n+1/2]+1
[√n+1/2]-1/2≦√(n+a)<[√n+1/2]+1/2
([√n+1/2]-1/2)^2≦n+a<([√n+1/2]+1/2)^2
-n+([√n+1/2]-1/2)^2≦a<-n+([√n+1/2]+1/2)^2

接下來一個個討論
LEFT SIDE:
-n+([√n+1/2]-1/2)^2

-1+([√1+1/2]-1/2)^2=-1+(1-1/2)^2=-3/4
-2+([√2+1/2]-1/2)^2=-2+(1-1/2)^2=-7/4
-3+([√3+1/2]-1/2)^2=-3+(2-1/2)^2=-3/4
-4+([√4+1/2]-1/2)^2=-4+(2-1/2)^2=-7/4
-5+([√5+1/2]-1/2)^2=-5+(2-1/2)^2=-11/4
...
由此規則可知左邊的最小值為-3/4最好

RIGHT SIDE:
-n+([√n+1/2]+1/2)^2

-1+([√1+1/2]+1/2)^2=-1+(1+1/2)^2=5/4
-2+([√2+1/2]+1/2)^2=-2+(1+1/2)^2=1/4
-3+([√3+1/2]+1/2)^2=-3+(2+1/2)^2=13/4
-4+([√4+1/2]+1/2)^2=-4+(2+1/2)^2=9/4
-5+([√5+1/2]+1/2)^2=-5+(2+1/2)^2=5/4
...

由上面討論出來結果得知
-3/4≦a<1/4