2007 AMC10/AMC12

蠍心

AMC12

21.
f(x)=ax^2+bx+c=0
依題
兩根和=兩根積=a+b+c=-b/a=c/a
so
-b=c
代入a+b+c=a
答案選(A)X項係數

‧幻星〞

AMC12

13.
過乳酪作直線y=-5x+18的垂直線交於K
則K座標為(a,b)
設垂直線方程式為
y=ax+b
又兩條線互相垂直斜率相乘為-1
a=1/5
10=12*1/5+b
b=38/5
解聯立
y=x/5+38/5
y=-5x+18
得x=2,y=8
2+8=10
答案選B

20.
設對正方形邊長所切的長度為X
列出方程式
根號(2X^2)=1-2X
2X^2=1-4X+4X^2
2X^2-4X+1=0
X=(2-根號2)/2
體積總和=(2-根號2)/2*(2-根號2)/2*1/2*(2-根號2)/2*1/3*8=(10-7*根號2)/3
答案選B

AMC10

24.
連AE、BF、AC、BD
面積=長方形-2*扇形-2*等腰直角三角形
=4根號2*2-2*2*pi*1/8*2-2*2*1/2*2
=8根號2-4-pi
答案選B

[ 本文最後由 ‧幻星〞 於 07-2-14 06:57 PM 編輯 ]

M.N.M.

搶走AMC10 (毆

25.
∵n<2007
∴S(n)<29
n除以9的餘數=S(n)除以9的餘數=S(S(n))除以9的餘數

設餘數為r，r=0~8

∵9│2007
∴n+S(n)+S(S(n) ≡ r+r+r≡0 (mod9)

設S(n)=9k , 9k+3, 9k+6(k為正整數或0)
k=0
S(n)=3,6
S(S(n))=3,6
n=2007-S(n)-S(S(n))

n=2001,1995(2001合)

k=1
S(n)=9 , 18 ,27
S(S(n))=9 ,9 ,9
n=2007-S(n)-S(S(n))

n=1989,1980,1971(1980合)

k=2
S(n)=18, 21 ,24
S(S(n))=9 ,3 ,6
n=2007-S(n)-S(S(n))

n=1980,1983,1977(1980,1983,1977合)

k=3
S(n)=27
S(S(n))=9
n=2007-S(n)-S(S(n))

n=1971


∴n=2001,1980,1983,1977共4個

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-14 06:16 PM 編輯 ]

蠍心

AMC10

24
從長方形ABEF開始
ABEF面積=8根號2
減掉兩個四分之一圓=半圓=2pi
在減掉兩個奇怪的形狀=兩個等腰直角三角形減掉兩個八分之一圓=4-pi
8根號2-2pi-(4-pi)
=8根號2-4-pi
答案為B

[ 本文最後由 蠍心 於 07-2-14 10:35 AM 編輯 ]

‧幻星〞

AMC12

23.
畫出函數圖形可知
(1)A,B的y座標相同
且A的x座標比b的x座標大6
(2)B,C的x座標相同
且C的y座標比b的y座標大6

(1)
設B的x座標為m
log_a m^2=log_a m+6
m^2=m+6
m=3 or -2

(2)
設B的y座標為n
B所在直線方程式可改寫成a^y=x^2
C所在直線方程式可改寫成a^(y+6)=x^3
由於兩點x座標相同
下式除以上式
a^6=x
由(1)x=3 or -2
但此時-2不合
故x=3
a=6次根號3
答案選A

M.N.M.

AMC12

24.
畫圖得知=口=
sinx=sin2x有3個交點
sinx=sin3x有4個交點
sinx=sin4x有5個交點
sinx=sin5x有5個交點
sinx=sin6x有7個交點
可看出規律
sinx=sin7x有8個交點
sinx=sin8x有9個交點
sinx=sin9x有9個交點
.
.

每4項一組
2007/4=501.....3

F(2)+F(3)+F(4)+(5)+F(6)+...+F(2005)+F(2006)+F(2007)

=3+4+5+5+7+8+9+9+...+2006+2007+2008

=3+4+5+(6-1)+7+8+9+(10-1)+...+2006+2007+2008

=[ (3+2008)2006/2]-501

=2016532

A:(D)

傲月光希

AMC10-25.

(硬拼法)
因為n+S(n)+S(S(n))=2007

所以1≦n≦2007
而1≦S(n)≦28 (最大為1+9+9+9=28)
1≦S(S(n))≦10

當
S(S(n))=1 => S(n)=1,10 => n=2005,1996
S(S(n))=2 => S(n)=2,11,20 => n=2003,1994,1985
S(S(n))=3 => S(n)=3,12,21 => n=2001,1992,1983
S(S(n))=4 => S(n)=4,13,22 => n=1999,1990,1981
S(S(n))=5 => S(n)=5,14,23 => n=1997,1988,1979
S(S(n))=6 => S(n)=6,15,24 => n=1995,1986,1977
S(S(n))=7 => S(n)=7,16,25 => n=1993,1984,1975
S(S(n))=8 => S(n)=8,17,26 => n=1991,1982,1973
S(S(n))=9 => S(n)=9,18,27 => n=1989,1980,1971
S(S(n))=10 => S(n)=19,28 => n=1978,1969

由上列表，可以得知
n=2001,1980,1977,1983皆可能

傲月光希

AMC10-11

由於一個頂點對應的面有三個
因此每個點都會被算三次

所以全部的面的和再總和為{[(1+8)*8]/2}*3=108

又因應題目要求

全部的面共同的和為108/6=18

傲月光希

AMC10-12

由旅客選導遊，總方法數為2^6=64

扣掉任何一個導遊沒帶隊的方法有2種

因此答案為62

AMC10-15

算出正方形對角線即可

由附圖可知，中間最長的那條紅線的長度為1+2+2+1=6
而綠色線的長度剛好就是旁邊兩條短紅線所圍起來的正方形的對角線長
因此綠線長為√2
所以正方形對角線長6+2√2

設正方形邊長為x，則面積為x^2
又由畢氏定理得知x^2+x^2=(6+2√2)^2
所以面積為[(6+2√2)^2]/2=22+12√2

turnX

AMC 10  
第16題

偶數有1004個 奇數有1004個
要達成偶數要

奇-奇=偶
偶-偶=偶

又
奇奇=奇 1/4 ----(A)
奇偶=偶 1/4 ----(B)
偶奇=偶 1/4 ----(C)
偶偶=偶 1/4 ----(D)

偶-偶=偶 (B)(C)(D)
1/4*1/4*3*3=9/16

奇-奇=偶 (A)
1/4*1/4*1=1/16

9/16+1/16=10/16=5/8

Ans:(E)


第19題

令正方形邊長為ax
帶狀區域寬為x

[ (根號(2)ax)/2-x+(根號(2)ax)/2 ]*(x/2)*(1/2)*x = (1/2)*(a/x)^2
整理式子得
x^2-(4根號(2)x)/a+4/(a^2)=0
求x
x=(2根號(2)+2)/a or =(2根號(2)-2)/a (不合!因為ax>x)
所以x=(2根號(2)+2)/a

Ans:(C)

[ 本文最後由 turnX 於 07-2-14 11:39 PM 編輯 ]