質數問題&數與座標系的問題

coastd54703

1.設二次方程式x^2-(2a+1)x+b=0的兩根p,q均為質數(其中p<q)，且滿足5a-b=12，求a+b=？

A：48

我先利用根與係數算出p+q=2a+1，pq=b
湊不出5a-b=12...
所以我直接用代的，
因為都是質數，所以只要考慮正整數即可，會發現代到(a,b)=(10,38)三式皆會成立..
∴a+b=48
有更快的解法嗎？！

2.設座標平面上A(5,3)，B(1,4)及直線L：x-y+1=0，若P在L上，使│線段PA-線段PB│有最大值，求P座標？

A：(-1,0)

這題我只有畫出圖來，我會算的永遠只有最小值
=.=最大值我從來就不知道要怎麼算....

3.若整係數方程式x^2+(m-1)x+m+1=0之二根均為整數，則m=？

A：1 or 7

4.●證明題
(1)試求出一個質數，當它加上10或14後，都仍然是質數。
(2)試證明除了這個質數外，沒有別的質數滿足此性質。(提示：可以把整數分類)

(1)題...我只知道有3....因為用代的...
我在想...
會不會有所謂的通式呀？！
可是因為數是質數...
應該沒有所謂的通式吧？！
質數是不規則的....

tzhau

第三題答案似乎有錯　　正確答案為-1和7

sol：設兩根為ｓ和ｔ　ｓ、ｔ屬於整數

　　由根與係數關係可得兩式　ｓ+ｔ =-m+1......(1)
　　　　　　　　　　　　　　ｓ˙ｔ= m+1......(2)

(1)+(2) 可得   s+t+s˙t=2

　　　　　　　(s+1)(t+1)=3  所以(s，t)可能為(0，2)、(2，0)、(-2，-4)、(-4，-2)

將(s，t)代入(1)可得  m=-1或7

coastd54703

嗯！
我打錯了！
抱歉囉！
第三題正確答案-1 或 7

M.N.M.

1.p+q>5

所以a為整數

2a+1是奇數型

奇+偶=奇

而質數中唯一的偶數為2，即p=2
2a+1=2+q
a=(1+q)/2

b=2q

5a-b=12

(5+5q)-4q=24
q=19

a+b=10+38=48

2.
看到像求 線段PA+線段PB 最小值的題目，解題方法如下

(1)若A，B在直線L同側

(i)先求其中一點的對稱點A'(可任選一個求對稱點)

(ii)直線A'B與直線L之交點為P

(iii)線段PA+線段PB 的最大值為A'B之距離


(2)若A，B在直線L的異側，直線AB與L之交點P即為所求



看到像求│線段PA-線段PB│最大值的題目，解題方法如下

(1)若A，B在直線L同側，直線AB與L之交點P即為所求


(2)若A，B在直線L的異側

(i)先求其中一點的對稱點A'(可任選一個求對稱點)

(ii)直線A'B與直線L之交點為P

(iii)│線段PA-線段PB│的最大值為A'B之距離

點代入x-y+1=0
(5-3+1)(1-4+1)<0

所以A和B在異側

A關於x-y+1=0的對稱點A'在(3，2)上

A'B之斜率為1/2
過A'與B之直線方程為x-2y+1=0

P點在x-y+1=0與x-2y+1=0的交點上
x-y+1=0
x-2y+1=0

(x，y)=(-1，0)

coastd54703

原文由M.N.M. 於 07-2-21 06:02 PM 發表

A關於x-y+1=0的對稱點A'在(3，2)上

請問
A關於x-y+1=0的對稱點A'...
A' 要怎麼求呢？

tzhau

若有一點P(s，t)對直線L：ax+by+c=0對稱點是P'

則P'的座標可推得為(s-［2af(s，t)］/[a^2+b^2]，t-［2bf(s，t)］/[a^2+b^2])


Pf：設P點投影到直線L上的點為Q(x，y)，則向量PQ為(x-s，y-t)

　　而直線L：ax+by+c=0的方向向量為(a，b)

　　因向量PQ與直線L之方向向量平行，故可寫成(x-s)/a=(y-t)/b

　　設其參數式x=s+ak，y=t+bk　　得Q(s+ak，t+bk)˙˙˙˙˙˙(1)

　　又點Q在L上　　所以a(s+ak)+b(t+bk)+c=0

　　整理後可得k=-(as+bt+c)/a^2+b^2　　代入(1)得

　　Q(s-[af(s，t)]/[a^2+b^2]，t-［bf(s，t)］/[a^2+b^2])

　　之後利用PP'之中點為Q　→　P'=2Q-P

　　便可得P'=(s-［2af(s，t)］/[a^2+b^2]，t-［2bf(s，t)］/[a^2+b^2])

　　其中f(s，t)=as+bt+c

　　可由直線推廣到平面


個人覺得這個式子不必死記，只要遇到要求對稱點的話利用一些簡單的向量基本概念就可解出來

畢竟你死記過後不久大概就會忘了

[ 本文最後由 tzhau 於 07-2-23 02:39 AM 編輯 ]