費布那西數列之證明題

coastd54703

設{an}為一無窮數列，a1=1，a2=1，且對於每個正整數n，恆有an+2=an+1+an，此數列稱為費布那西數列。
(1)試求a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+a5^2=？
(2)證明：a1^2+a2^2+a3^2+...+an=anan+1

‧幻星〞

(1)a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+a5^2=a5*a6=5*8=40

(2)
應該是+a(n)^2吧

證法如下

我們可以發現
a(k)*a(k+1)-a(k-1)*a(k)=a(k)*[a(k+1)-a(k-1)]=a(k)^2

可以知道
a(1)^2=a(1)*(2)
a(2)^2=a(2)*a(3)-a(1)*a(2)
a(3)^2=a(3)*a(4)-a(2)*a(3)
...
a(n)^2=a(n)*a(n+1)-a(n-1)*a(n)
上n式相加
可以得到
a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2+...+a(n)^2=a(n)*a(n+1)
得證

coastd54703

[quote]原文由‧幻星〞 於 07-2-20 01:21 PM 發表
(1)a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+a5^2=a5*a6=5*8=40

(2)
應該是+a(n)^2吧

證法如下

我們可以發現
a(k)*a(k+1)-a(k-1)*a(k)=a(k)*=a(k)^2


請問這發現要從哪裡得知？！
這是所謂的遞迴證法嗎？

coastd54703

我自己試著用數學歸納法證出來了！
因為我學過的證明方法並不多！
大概只有反證法、遞迴證法、數學歸納法...這些而已
步驟一：n=1時，左式=1，右式=1，左式=右式，本式成立
步驟二：設n=k時，本式成立
          即a1^2+a2^2+a3^2+...+ak^2=ak×(ak+1)
步驟三：當n=k+1時，
          a1^2+a2^2+a3^2+...+ak^2+(ak+1)^2=ak×(ak+1)=+(ak+1)^2=(ak+1)[ak+(ak+1)]=(ak+1)(ak+2)
又∵an+2=(an+1)+an，∴ak+2=(ak+1)+ak
∴根據數學歸納法，本式恆成立。

‧幻星〞

(2)證明：a1^2+a2^2+a3^2+...+an=anan+1

其實這個也可以用面積來證
以a1,a2,a3,...,an為邊長的正方形可拼成一個大長方形
此大長方形邊長為an,a(n+1)

M.N.M.

原文由coastd54703 於 07-2-21 03:36 AM 發表
我自己試著用數學歸納法證出來了！
因為我學過的證明方法並不多！
大概只有反證法、遞迴證法、數學歸納法...這些而已
步驟一：n=1時，左式=1，右式=1，左式=右式，本式成立
步驟二：設n=k時，本式成立
          即a1^2+a2^2+a3^2+...+ ...

建議不要用左式或右式代替原算式

就像在恆等式中是不分左右的