挑戰77

M.N.M.

1.某三位數，將其個位、十位、百位元上的三個數字重新排列成，得出的最大三位數減最小三位數之差為原三位數。求解此三位數數值？

2.證明:無論在數12008的兩0之間添加多少個3，所得的數都是19的倍數

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-28 12:41 AM 編輯 ]

＊軍曹＊

原文由M.N.M. 於 07-2-28 12:06 AM 發表
2.證明:無論在數12008的兩0之間添加多少個3，所得的數都是19的倍數

pf:利用第一數學歸納法

(i)當n=1時,120308=19*6332...成立

(ii)假設當n=k時成立，即存在一個正整數m使得B=12033...308=19m，其中3有k個
討論n=k+1時的情況
令A=12033...3308，其中3有k+1個
=> 12033...3308-12033...3080=A-10B=A-190m=228=19*12
=> A=190m+19*12=19(10m+12)
所以成立

由(i)(ii)及第一數歸法，原命題得證

傲月光希

原文由M.N.M. 於 07-2-28 12:06 AM 發表
1.某三位數，將其個位、十位、百位元上的三個數字重新排列成，得出的最大三位數減最小三位數之差為原三位數。求解此三位數數值？

假設此數的三位數分別為a,b,c，不失一般性假設a≧b≧c且a,b,c皆為0到9之間的正整數
因此排出來最大數為abc，最小數為cba
=> 最大數-最小數=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100(a-c)-(a-c)=99(a-c)
由結果得知此數必為99的倍數而a-c介於2到9之間時皆為三位數
99*2=198
99*3=297
99*4=396
99*5=495
99*6=594
99*7=693
99*8=792
99*9=891

*2跟*9排列的最大最小數都一樣，*3跟*8一樣，...，*5跟*6一樣

(i)981-189=xx2...不可能
(ii)972-279=xx3...不可能
(iii)963-369=xx4...不可能
(iv)954-459=495

因此最大排列數減最小排列數得到原數的數為495