挑戰80

M.N.M.

1.f(x)=Σ(i=1~n) [(2i+1-(x^2)+2x)^2]，求f(x)之最小值及對應之x值

2.y=f(x)=a(x^2)+bx+c，f(0)>0且過點(1，1)與(3，5)，求當f(x)有最大值或最小值時 a，b，c之值

3.設x，y∈R，且滿足x+y=(x^2)+(y^2)，求(x^3)+(y^3)之值的範圍

eton

2.
將兩點代入f(x)得
  a+b+c=1
  9a+3b+c=5

然後隨便加加減減
  a=a
  b=2-4a
  c=3a-1

因f(0)>0
所以c>0
    c=3a-1>0
    a>1/3

然後總結就是:
  f(x)有最小值時
    a=t
    b=2-4t
    c=3t-1

    t∈R且t>1/3
完畢...

M.N.M.

[解答]
1.
f(x)=Σ(i=1~n) [(2i+1-(x^2)+2x)^2]

=Σ(i=1~n) [2(i+1)-(x-1)^2]^2

=4A-4[(x-1)^2]*B+n*(x-1)^4

A=Σ(i=1~n) (i+1)^2=1+(2^2)+(3^2)+...+(n^2)-1=[Σ(i=1~n+1) i^2]-1=[(n+1)(n+2)*2n+3)/6]-1

B=[Σ(i=1~n+1) i]-1=[(n+1)(n+2)/2]-1

f'(x)=-8(x-1)*B+4*n*(x-1)^3

=4n(x-1){[(x-1)^2]-(n+3)}

f'(x)=0

=>x=1±√(n+3) or 1

在x=1±√(n+3) 有極小值，f(1±√(n+3) )=(1/3)*n*[(n^2)-1]

2.
f(0)=c>0

f(1)=a+b+c=1......(1)

f(2)=9a+3b+c=5......(2)

(2)-(1)=>b=2-4a代入(1)

=>c=3a-1>0

f(x)之min=f(-b/2a)=[(4ac-b^2)/4a]

=(1/4a){4a(3a-1)-[(2-4a)^2]}=3-[a+(1/a)]≤3-2=1

a=1/a等號成立=>a=1代入(1)(2)

=>b=-2，c=2

3.
令x+y=(x^2)+(y^2)=t

則2xy=(t^2)-t

以x，y為實根的二次方程式為(x^2)-tx-[(t^2)-t]/2=0

判別式≥0

=>(t^2)-2[(t^2)-t]≥0

=>0≤t≤2

f(t)=(x^3)+(y^3)=(x+y)[(x^2)-xy+(y^2)]=(t^2)(3-t)/2

f'(t)=(3/2)*t*(2-t)=0

=>t=0 or 2

t=0時有極小值0

t=2時有極大值2

∴0≤(x^3)+(y^3)≤2

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-4-15 10:19 PM 編輯 ]