AIME

奔向自由

設S是一集合，包含所有介於1與2^40兩個1，其餘為0。
若從S中隨機取出一數它可被9整除的機率為P/Q 　  其中P和Q互質，求P+Q?


小弟就讀於國中，本題為ＡＩＭＥ２００４的考題
但因在下才疏學淺，不知本題該應用何種概念？

11. 一個直立圓錐底圓的半徑為600，高為200√ 7 。一隻蒼蠅開始時停在此圓錐的表
面上的一點，與頂點的距離為125；沿著此圓錐的表面爬到此圓錐的對面的某一
點，此點與頂點的距離為375√ 2 。試求這隻蒼蠅所可能爬行的最短距離。




小弟就讀於國中，本題為ＡＩＭＥ２００４的考題
這題是要將圓錐展開吧？
但不知如何應用到沿著此圓錐的表面爬到此圓錐的對面的某一點這句話
謝謝

考慮一串n 個7，7 7 7．．．7 7，在這些7 之中插入加號「+ 」，形成一個算式。例
如： 7+77+777+7+7=875 ，即是在八個7 中插入「+ 」運算後而得。試問有多
少個這樣的n，可插入「+ 」運算後之值為7000？


小弟就讀於國中，本題為ＡＩＭＥ２００４的考題
是否要列出一些清況，然後推出規律??


[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-3-27 07:04 PM 編輯 ]

cfc21

一個直立圓錐底圓的半徑為600，高為200√ 7 。一隻蒼蠅開始時停在此圓錐的表
面上的一點，與頂點的距離為125；沿著此圓錐的表面爬到此圓錐的對面的某一
點，此點與頂點的距離為375√ 2 。試求這隻蒼蠅所可能爬行的最短距離。

我算的答案是625，而且是用高中的方法，國中的方法恕在下......

奔向自由

正確，太厲害了!!
您不用擔心，畢竟AIME大部分是給高中生考的
雖然我國中而已，但已有一些高中的知識了!
您不妨說出您的解法或想法

M.N.M.

這題應該是這樣的
設S是一集合，包含所有介於1與2^40的整數，它們的二進位表示
式中恰有兩個1，其餘為0。試問從S中隨機取出一數它可被9整除
的機率為為P/Q 　  其中P和Q互質，求P+Q?


這類問題餘數通常是有規律

很少接觸進位問題會不太容易思考


2^0、2^1、2^2、2^3、2^4、2^5、2^6、2^7、2^8、…、2^36、2^37、2^38、2^39
除以9的餘數分別為：(1、2、4、8、7、5)、(1、…)、…、(1、2、4、8。
1＋8＝9，共有7×7＝49種
2＋7＝9，共有7×6＝42種
4＋5＝9，共有7×6＝42種
故所求的機率為(49＋42＋42)/(40×39÷2)＝133/780

780+133=913


考慮一串n 個7，7 7 7．．．7 7，在這些7 之中插入加號「+ 」，形成一個算式。例
如： 7+77+777+7+7=875 ，即是在八個7 中插入「+ 」運算後而得。試問有多
少個這樣的n，可插入「+ 」運算後之值為7000？

設有A個7，B個77，C個777，其中n=A+2B+3C

7A+77B+777C=7000

A+11B+111C=1000
1000-11B-111C=A

n=1000-11B-111C+2B+3C=1000-9(B+12C)

C=0時
B=0~90
B+12C=0~90

C=1時
B=0~80
B+12C=12~92

C=2時
B=0~70
B+12C=24~94

C=3時
B=0~60
B+12C=36~96
.
.
.
C=9時
B=0
B+12C=108

B+12C有108種，相對的n有108種

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-3-27 09:34 PM 編輯 ]

cfc21

請參考以下類似題，若配合餘弦定律，則可解「那一題」。
http://nsweb.ccvs.kh.edu.tw/cfc21/math2/math2_3/math2_3_1/ex4/ex4.html
若還解不出，請留言，我再製作講解檔說明:大笑

奔向自由

一張長1024 單位、寬1 單位的細長紙條，將其分成1024 個單位
正方形。將這紙條重複對摺。第一次對摺時，將這張紙的右邊邊緣
疊合在左邊邊緣的上面，使其成為長512 單位、寬1 單位的紙條，
厚度為最初紙條的兩倍。第二次對摺時，也將這張紙的右邊邊緣疊
合在左邊邊緣的上面，使其成為長256 單位、寬1 單位的
紙條，其厚度為最初紙條的四倍。如此動作，再重複8 次。於完成
最後的摺紙活動後，這張細長紙條已變成厚度為最初紙條1024 倍
的單位正方形。試問在原來從左邊數起第942 個單位正方形的下面
有多少個單位正方形？

奔向自由

對了，有人這禮拜要考AIME嘛??

想看看說你們怎麼準備的? 蠻有挑戰性的

3小時  15題

奔向自由

對了，給各位親愛的網友
很高興可以跟您們討論這麼多數學問題
雖然說我已經找到正確解答和解法，但還是很希望你們能多發表你們的想法