挑戰83

M.N.M.

1.將座標軸平移，使原點延著直線y=3x的左下方移動√10單位時，而使某一圖形G的方程式為4(x')^2+5(y')^2=15，試求G對座標軸未平移前之原方程式

2.試就實數k之值的變化，討論二元二次方程式(x^2)+(y^2)+2x+2y+k[(x^2)-(y^2)+2x+2y]=0的圖形

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-4-4 02:28 PM 編輯 ]

xvmon123

第2題斗膽問下
要全部配過在討論還是有超快的解法??

turnX

原文由M.N.M. 於 07-4-3 10:04 PM 發表
1.將座標軸平移，使原點延著直線y=3x的左下方移動√10單位時，而使某一圖形G的方程式為4(x')^2+5(y')^2=15，試求G對座標軸未平移前之原方程式

單純的橢圓移位嗎?
原方程式為 4(x'+1)^2+5(y'+3)^2=15

M.N.M.

原文由xvmon123 於 07-4-6 12:38 AM 發表
第2題斗膽問下
要全部配過在討論還是有超快的解法??

不能說

原文由turnX 於 07-4-6 11:53 AM 發表


單純的橢圓移位嗎?
原方程式為 4(x'+1)^2+5(y'+3)^2=15

雖然是單純橢圓移位

不過答案錯了，而且要有算式喔

turnX

原文由M.N.M. 於 07-4-6 04:02 PM 發表
雖然是單純橢圓移位
不過答案錯了，而且要有算式喔

錯了!
那大概是 4(x'-1)^2+5(y'-3)^2=15
再錯就很冏
要算式呀!真是不知道該怎麼用算式解釋

M.N.M.

原文由turnX 於 07-4-6 08:13 PM 發表


錯了!
那大概是 4(x'-1)^2+5(y'-3)^2=15
再錯就很冏
要算式呀!真是不知道該怎麼用算式解釋

答案是對了

其實這題可沒那麼容易呢

這題是用到法向量和平移的概念解的

tzhau

原文由M.N.M. 於 07-4-3 10:04 PM 發表
2.試就實數k之值的變化，討論二元二次方程式(x^2)+(y^2)+2x+2y+k[(x^2)-(y^2)+2x+2y]=0的圖形

先討論實數K值分別為1、0和-1時的情形

k=1時，原方程式為2(x^2)+4x+4y=0，化簡可得y=(-1/2)[(x+1)^2]+(1/2)..................一拋物線

k=0時，原方程式為(x^2)+(y^2)+2x+2y=0，化簡可得[(x+1)^2]+[(y+1)^2)]=2..........一圓

k=-1時，原方程式為2(y^2)=0，化簡可得y=0.......................................................兩重合直線
接下來討論k不為上述情形之情況

(x^2)+(y^2)+2x+2y+k[(x^2)-(y^2)+2x+2y]=0

展開後同類項合併得

(1+k)(x^2)+(1-k)(y^2)+2(1+k)x+2(1+k)y=0

利用配方

(1+k)[(x+1)^2]-(1+k)+(1-k){(y^2)+2[(1+k)/(1-k)]y+[(1+k)/(1-k)]^2}-(1+k)^2/(1-k)=0

(1+k)[(x+1)^2]+(1-k){y+[(1+k)/(1-k)]}^2=(1+k)+[(1+k)^2]/(1-k)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(2+2k)/(1-k)

(i)當(1+k)(1-k)<0 時為雙曲線=> 1-k^2<0 => k<-1或k>1

(ii)當(1+k)(1-k)>0 時為橢圓=> 1-k^2>0 => -1<k<1但k≠0

[ 本文最後由 tzhau 於 07-4-7 02:51 PM 編輯 ]

eton

原文由M.N.M. 於 07-4-6 11:10 PM 發表

答案是對了

其實這題可沒那麼容易呢

這題是用到法向量和平移的概念解的

呃...問一下喔
不是原來的座標軸往左下移嗎
移完之後橢圓中心剛好是移後的原點
那原來的橢圓應該在座標軸左下,也就是第三象限
可是答案的橢圓中心為什麼在第一象限呢?

M.N.M.

原文由tzhau 於 07-4-6 11:30 PM 發表
k=-1時，原方程式為2(y^2)=0，化簡可得y=0.......................................................一直線

這樣的說法不太正確

原文由eton 於 07-4-6 11:46 PM 發表


呃...問一下喔
不是原來的座標軸往左下移嗎
移完之後橢圓中心剛好是移後的原點
那原來的橢圓應該在座標軸左下,也就是第三象限
可是答案的橢圓中心為什麼在第一象限呢? ...

這題是設平移後的座標為基準

M.N.M.

[解答]
1.
由3x-y=0中，得其法向量為(v向量)=[3，-1]，故y=3x上有兩個方向

向量N1=[1，3]及向量N2=[-1，-3]均與v向量垂直

而│向量N1│=[1，3]及│向量N2│=√10

向量N2=[-1，-3]平移至O'(-1，-3)

x=x'-1

x'=x+1......(1)

y=y'-3

y'=y+3......(2)

(1)(3)代入4(x')^2+5(y')^2=15

=>4(x+1)^2 +5(y+3)^2 =15

=>4(x^2)+5(y^2)+8x+30y+34=0  為所求