挑戰90

M.N.M.

1.設 p 是正整數, p > 5, 且 p, p + 2, p + 6, p + 8 皆為質數,
試證 : p + 4 是 15 的倍數。

2.連續三個整數的平方和可等於另一個整數的平方嗎?

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-5-10 11:19 PM 編輯 ]

神光

原文由M.N.M. 於 07-5-10 07:59 PM 發表
2.連續三個數的平方和可等於另一個數的平方和嗎?

一開始當然要設未知數
設 a,a+1,a+2為三連續數,其中a為正整數

三數之平方和=3a^2+6a+5
令 3a^2+6a+5=p^2
3a^2+6a+5-p^2=0 --------(*)

方程(*)的Δ= 6^2-4(3)(5-p^2)=12p^2-24
因a是正整數,
=> Δ=q^2, 其中q為正整數
=> p^2=(q^2)/12+2
由上式,得出p不是正整數.

所以,連續三個數的平方和不能等於另一個正整數的平方和

Exception

1.

p*(p+2)*(p+4)*(p+6)*(p+8)≡p*(p+2)*(p+1)*p*(p+2) ≡0 (mod 3)
p*(p+2)*(p+4)*(p+6)*(p+8)≡p*(p+2)*(p+4)*(p+1)*(p+3)≡0 (mod 5)
所以15|p*(p+2)*(p+4)*(p+6)*(p+8)

因為 p>5且p,(p+2),(p+6),(p+8)為質數
所以 p,(p+2),(p+6),(p+8)不被3整除 且 p,(p+2),(p+6),(p+8)不被5整除
所以15|(p+4)

(存在性)
p=11
p,(p+2),(p+6),(p+8)=11,13,17,19
p+4=15

2.

題目應該改成
"連續三個整數的平方和可等於另一個整數的平方嗎?"
(把數改成整數,後面的平方和改成平方)
這樣比較恰當吧?

解法一

連續三個整數的平方和≡(-1)^2+0^2+1^2≡1+0+1≡2 (mod 3)
整數平方≡(-1)^2,0^2,1^2≡1,0,1(mod 3)
所以不存在!

解法二

設連續三個整數為(n-1),n,(n+1),其中n為整數。
m^2=(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=3*n^2+2
3|((m^2)-2)------<1>

分三種情況來考慮：
m=3k,3k+1,3k-1,其中k為整數。

(1)m=3k
   m^2=9k^2
   3|m^2
   3|m^2-((m^2)-2)
   3|2  (矛盾)

(2)m=3k+1
   m^2=3*(3k+2)+1
   3|(m^2)-1
   3|((m^2)-1)-((m^2)-2)
   3|1  (矛盾)

(3)m=3k-1
   m^2=3*(3k-2)+1
   3|m^2-1
   3|((m^2)-1)-((m^2)-2)
   3|1  (矛盾)
所以不存在!

[ 本文最後由 Exception 於 07-5-11 01:16 AM 編輯 ]

神光

原來我這樣的解法有問題.
我再試試看.

設三數為a,a+1,a+2,其中a是整數
三數的平方和=3a^2+6a+5
                  =3(a^2+2a+1)+2
因為平方數不能表示為 3k+2 的形式(如要證明,我會再補)

所以連續三個整數的平方和不能等於另一個整數的平方.
果然還是要從數字的特性入手

[ 本文最後由 神光 於 07-5-11 05:59 PM 編輯 ]