挑戰95

M.N.M.

分解因式

1.(a+b+c)^3 -(b+c-a)^3 -(c+a-b)^3 -(a+b-c)^3

2.(y^2 -z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2 -x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2 -y^2)(1+zx)(1+zy)

3.(b+c-a-d)^4 *(b-c)(a-d)+(c+a-b-d)^4 *(c-a)(b-d)+(a+b-c-d)^4 *(a-b)(c-d)

kkk05421

1.(a+b+c)^3 -(b+c-a)^3 -(c+a-b)^3 -(a+b-c)^3

=[(a+b+c)-(b+c-a)][(a+b+c)^2+(a+b+c)(b+c-a)+(b+c-a)^2]-
[(c+a-b)+(a+b-c)][(c+a-b)^2-(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)^2]

=2a[(a+b+c)^2+(a+b+c)(b+c-a)+(b+c-a)^2]-
2a[(c+a-b)^2-(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)^2]

=2a[(a+b+c)^2-(c+a-b)^2+(b+c-a)^2-(a+b-c)^2+(a+b+c)(b+c-a)+(c+a-b)(a+b-c)]

=2a[4b(a+c)+4b(c-a)-a^2+b^2+c^2+2bc+a^2-b^2-c^2+2bc]

=2a[8bc+4bc]

=24abc

M.N.M.

解答

2.(y^2 -z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2 -x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2 -y^2)(1+zx)(1+zy)

顯然這是x、y、z的輪換式

令x=y，則(y^2 -z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2 -x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2 -y^2)(1+zx)(1+zy)=0

所以必有因式(x-y)(y-z)(z-x)

由於(y^2 -z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2 -x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2 -y^2)(1+zx)(1+zy)不是齊次式

所以只能做一般的分解法，不過要注意的是(y^2 -z^2)+(z^2-x^2)+(x^2-y^2)=0

所以做如下方式整理

(y^2 -z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2 -x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2 -y^2)(1+zx)(1+zy)

=(y^2 -z^2)[1+x(y+z)+(x^2)yz] + (z^2 -x^2)[1+y(x+z)+(y^2)xz] + (x^2 -y^2)[1+z(x+y)+(z^2)xy]

=[(y^2-z^2)+(z^2-x^2)+(x^2-y^2)]

  +[x(y+z)(y^2-z^2)+y(x+z)(z^2-x^2)+z(x+y)(x^2-y^2)]
  
  +xyz[x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z((x^2-y^2)]

=[x(y+z)(y^2-z^2)+y(x+z)(z^2-x^2)+z(x+y)(x^2-y^2)] + xyz[x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z((x^2-y^2)]
現在已變成兩齊次式之和
(y+z)(y^2-z^2)+y(x+z)(z^2-x^2)+z(x+y)(x^2-y^2)

=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)

xyz[x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z((x^2-y^2)]

=xyz(x-y)(y-z)(z-x)

所以(y^2 -z^2)(1+xy)(1+xz)+(z^2 -x^2)(1+yz)(1+yx)+(x^2 -y^2)(1+zx)(1+zy)

=(x-y)(y-z)(z-x)(xyz+x+y+z)

3.(b+c-a-d)^4 *(b-c)(a-d)+(c+a-b-d)^4 *(c-a)(b-d)+(a+b-c-d)^4 *(a-b)(c-d)

這是a、b、c、d的輪換式

令a=b，則(b+c-a-d)^4 *(b-c)(a-d)+(c+a-b-d)^4 *(c-a)(b-d)+(a+b-c-d)^4 *(a-b)(c-d)=0

所以必有因式(a-b)(b-c)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)，由於(b+c-a-d)^4 *(b-c)(a-d)+(c+a-b-d)^4 *(c-a)(b-d)+(a+b-c-d)^4 *(a-b)(c-d)

是六次式

設(b+c-a-d)^4 *(b-c)(a-d)+(c+a-b-d)^4 *(c-a)(b-d)+(a+b-c-d)^4 *(a-b)(c-d)=k(a-b)(b-c)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)

令a=-1，b=0，c=1，d=2代入

=>k=16

所以(b+c-a-d)^4 *(b-c)(a-d)+(c+a-b-d)^4 *(c-a)(b-d)+(a+b-c-d)^4 *(a-b)(c-d)

=16(a-b)(b-c)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)

第一題也能用此解法做因式分解