一題幾何題..

‧幻星〞

如圖
F,J,O是三角形ABC的三個旁心
圓F、圓J、圓O分別切三角形ABC三邊於R,Q,P
試證明AR、BP、CQ三線共點

‧幻星〞

原文由傲月光希 於 07-6-11 10:38 PM 發表
考慮J，CQ線必通過J..

這句話不一定對吧..
若這句話要成立..BC要等於AC..
但ABC是任意的三角形..

eton

總之,因為是旁心
所以外角平分線通過兩個圓心
        因
            角PAO=角QAJ
            角APO=角AQJ=90度
        所以
            角AOP=角AJQ
            三角形AOP 相似於 三角形AJQ
        以此類推,可的三組相似三角形

然後照(美麗又色彩鮮艷?)的圖上標一標

用西瓦定理
(BR/RC)(CP/PA)(AQ/QB)=......(計算過程...消掉消掉...)
                                     =1

得證AR、BP、CQ三線共點

[ 本文最後由 eton 於 07-6-16 03:22 PM 編輯 ]

傲月光希

原文由eton 於 07-6-16 03:08 PM 發表
總之,因為是旁心
所以外角平分線通過兩個圓心
        因
            角PAO=角QAJ
            角APO=角AQJ=90度
        所以
            角AOP=角AJQ
            三角形AOP 相似於 三角形AJQ
        以此類推, ...

能給個西瓦定理的完全敘述嗎?

eton

阿...這個好像是西瓦逆定理
如圖
若(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1
則AD,BE,CF三線共點

西瓦定理是
若AD,BE,CF三線共點
則(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1

至於証明
不負責任的放上建中數學教材...
http://math1.ck.tp.edu.tw/%AAL%ABH%A6w/%BE%C7%B3N%AC%E3%A8s/%BC%C6%BE%C7%B1M%C3D/%B4X%A6%F3%B1M%C3D.pdf
還真長...
在第5頁的例7,和例8

skywalkerJ.L.

AC直線切圓J及圓F於D.E,BC直線切圓J及圓O於G.H,AB直線切圓F及圓O於I.M

令BC=a,CA=b,AB=c,(a+b+c)/2=s

易知CD=CG,且GB=BQ,QA=AD

所以CQ為三角形ABC之周界平分線

同理BP,AR亦為ABC之周界平分線

故BR/RC*CP/PA*AQ/QB=(s-c)/(s-b)*(s-a)/(s-c)*(s-b)/(s-a)=1

由Ceva逆定理知AR、BP、CQ三線共點#.