挑戰97

M.N.M.

1.在一次摩托車比賽中，有三輛摩托車再起點同時同向出發，其中第二輛車每小時比第一輛車少走15千米，比第三輛車多走3千米；第二輛到達終點比第一輛遲12分鐘，而比第三輛早到3分鐘，它們在路上都沒有停過，試求每輛摩托車的速率.

2.求方程(xy-1)^2+(x+y-2)(x+y-2xy)=1的整數解.

turnX

原文由M.N.M. 於 07-6-13 11:31 PM 發表
1.在一次摩托車比賽中，有三輛摩托車再起點同時同向出發，其中第二輛車每小時比第一輛車少走15千米，比第三輛車多走3千米；第二輛到達終點比第一輛遲12分鐘，而比第三輛早到3分鐘，它們在路上都沒有停過，試求每輛摩托車的速率.

...

設第一輛 每小時 x+15000 米
第二輛 每小時 x 米
第三輛 每小時 x-3000 米
還有距離長m米

m/(x/60)=m/((x+15000)/60)+12 ----(1)
m/((x-3000)/60)=m/(x/60)+3 ----(2)
解(1)(2)聯立得 x=75000

所以
第一輛 每小時 90000 米
第二輛 每小時 75000 米
第三輛 每小時 72000 米

turnX

原文由M.N.M. 於 07-6-13 11:31 PM 發表
2.求方程(xy-1)^2+(x+y-2)(x+y-2xy)=1的整數解.
...

令x+y=A xy=B
(B-1)^2+(A-2)(A-2B)=1
=>(A-B-1)^2=1
=> (x+y-xy-1)^2=1

只有當x+y-xy-1=1 or x+y-xy-1=-1有可能
也就是求x+y-xy=2 or x+y-xy=0

討論x+y-xy=0
化為x(1-y)+y=0來討論得出兩解 (0,0) , (2,2)


討論x+y-xy=2
化為x(1-y)+y=2來討論得出兩解 (0,2) , (2,0)

因此所有的解為 (0,0) , (0,2) , (2,0) , (2,2)