挑戰102

M.N.M.

普通
1.設根號(350xy)為最小正整數，且0<x<y，求x、y的正整數值

2.直線2x+ay=3(a為定數)與x軸、y軸圍成一面積為0.5的三角形，求a=?

難度
1.小M往返甲、乙兩地，已知他去與返所費的時間比為2:3，且其平均時速為12公里，求小M回程的時速為?

2.若a為正整數，根號(a^2  -97)為整數，求a=?

資優
1.在直角坐標上，O為原點，直線L為線性函數y=(1/2)x-3之圖形，與x軸交於A點，與y軸交於B點，若C點坐標為(-10，0)，且CP垂直x軸交直線L於P，又Q點為PB中點，求四邊形CPQO的面積?

2.設圓x^2 +y^2=37內一點P(1，2)，為弦AB之三等分點，則直線AB之方程式為?

kkk05421

1.
350=2x5x5x7

使350xy能開出根號  必有兩個同樣的因數

所以350xy=2x2x5x5x7x7    又0<x<y  

所以x=2 y=7

2.
x=0時  y=3/a   
y=0時  x=3/2

3/a x 3/2 =0.5

所以a=9

3.

設去的時速x  回的時速y  路程長z

z/x:z/y=2:3  =>2x-3y=0

(2x+3y)/5=12  =>2x+3y=60   

x=15  y=10

所以回程時速=10

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-8 02:24 PM 發表
1.在直角坐標上，O為原點，直線L為線性函數y=(1/2)x-3之圖形，與x軸交於A點，與y軸交於B點，若C點坐標為(-10，0)，且CP垂直x軸交直線L於P，又Q點為PB中點，求四邊形CPQO的面積?

L為線性函數y=(1/2)x-3
令y=0 x=6 得 A(6,0)
令x=0 y=-3 得B(0,-3)
知C(-10,0)
且CP垂直x軸交直線L於P
令x=-10 y=-8得P(-10,-8)
又Q點為PB中點
Q=((0+-10)/2,(-3+-8)/2)=(-5,-11/2)

現知
C(-10,0)
P(-10,-8)
Q(-5,-11/2)
O(0,0)

所以四邊形CPQO的面積為

(1/2)|-10*-8+-10*(-11/2)+0+0-0-((-8)*(-5))-0-0|=1/2 |80+55-40|=95/2

C(-10,0)
P(-10,-8)
Q(-5,-11/2)
O(0,0)
C(-10,0)

Ans: 95/2 或 47.5

appqq

難度2
2. 1+3+....95=a^2-97
   1+3+......95+97=a^2
    a=(97-1)/2+1=49
    a=49

[ 本文最後由 appqq 於 07-7-8 12:39 PM 編輯 ]

‧幻星〞

不熟悉這種題目..
方法有點麻煩＝　＝

2.設圓x^2 +y^2=37內一點P(1，2)，為弦AB之三等分點，則直線AB之方程式為?

圓O圓半徑為根號(37)
OP=根號(5)
設弦AB弦心距為r,(1,2)距AB中點x

可列出方程式r^2+x^2=5,r^2+9x^2=37
解得x=2,r=1

如附件
所以我們可以做出另一個半徑為1的圓
弦AB即為此圓的切線
因此所求方程式會有兩條
一條很容易看出為x=1

至於第二條
以點F(1,-1)作平行X軸對半徑為1的圓的切線
交AB弦於H

直角三角形HFC即為有一個半徑為1的內切圓的直角三角形
(AE+2)^2=3^2+(AI+1)^2
AE^2+4AE+4=10+AE^2+2AE
AE=3

弦AB斜率為3/4
可求得弦AB方程式為y=3/4x+5/4

＊綜合以上，所求為x=1和y=3/4x+5/4

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-8 02:24 PM 發表
1.小M往返甲、乙兩地，已知他去與返所費的時間比為2:3，且其平均時速為12公里，求小M回程的時速為?

另解:
設甲,乙兩地距離x  ,去時2t 返時3t
2x/(2t+3t)=12  得x=30t
30t/3t=10

所以小M回程的時速為10km

Ans:10km

流刃如火

普通2.
x=0時 y=3/a
y=0時 x=3/2
三角形面積=0.5=(3/2)*(3/a)*(1/2)
a=9/2
------------
不知道有沒有算錯....
普通1.是不是有兩組解：
(1) x=2 y=7
(2) x=1 y=14
後來才發現題目沒說只有一組解....

[ 本文最後由 流刃如火 於 07-7-9 01:46 PM 編輯 ]

流刃如火

普通2.
a是不是9/2  or  -9/2...
我不太確定....