暑假挑戰50

M.N.M.

此主題活動結束

將回復成一般挑戰題

解一題+2而已

至於獎勵會盡快出來

未解完的解答會慢慢補上

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這是總結算時
加算的↓
第一名鐵幣2000，聲望+100
第二名鐵幣1000，聲望+50
第三名鐵幣500，聲望+25
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有疑問請到
https://www.gamez.com.tw/thread-294715-1-1.html
發問
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1.求所有形如(n^n)+1且不超過10^19的質數，這裏的n為正整數


2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積


3.試求下列聯立方程組的實數解
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7
(1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7


4.將3^11表示成k個連續正整數的和。試求項數k的最大值


5.一盒錄影帶可錄製2集電視劇加1個小品，一般地，或著錄製2個小品加3首流行歌曲，某同學準備錄製7集電視劇，11個小品和20首流行歌曲，他最少需要多少盒
錄影帶才可能錄製完所有節目?(註:每集電視劇的時間相等，每集小品時間相等，
每首歌曲的時間相等，且每集小品的時間大於每首歌曲的時間)


6.環形跑道周長500米，甲、乙兩人按順時針沿環形跑道同時、同地起跑，甲每分鐘跑60米，乙每分鐘跑50米，甲、乙兩人每跑200米均要停下來休息1分鐘，那麼甲首次追上乙需花多少分鐘?後又追上乙時距起跑時間需多少分鐘?


7.如圖(活動-7)，S1和S2是直角三角形ABC的兩個內接正方形，已知S1的面積為441，S2的面積為440，求:AC+BC之值


8.已知函數f(x)對於任意實數x，都有
f(x)=f(398-x)=f(2158-x)=f(3214-x)
問:函數值列f(0)，f(1)，f(2)，...，f(999)中最多有多少個不同值?


9.在小於10^4的正整數中，有多少個正整數n，使(2^n)-(n^2)被7整除


10.現有21個車站，n家客運公司，若每家客運公司都在5個車站兩兩之間經營客運路線，且每個車站之間都至少有一直達路線，則客運公司至少需要幾家？


11.有一數列:1/1，1/2，2/2，1/3，2/3，3/3，1/4，2/4，3/4，4/4，...。設其前n項之和為Sn，試求:lim(n→∞) (Sn)/n=?


12.設數列<a_n>，其中a_n表最接近√a_n之正整數值，試求Σ(n=1~2003) a_n=?


13某個將軍有1000個武士，任何兩名武士或者互為朋友、或者互為敵人、或者互不相識，而且武士之間只和朋友說話。已知：對於每個武士而言，他的任何兩個朋友都互為敵人，而他的任何兩個敵人都互為朋友。若將軍要使所有武士都知道一項新命令，則將軍至少要通知多少名武士？


14.在Rt△CAB中，∠A=pi/2，∠B，∠C的平分線相交於F，且分別交對邊於D、E。求四邊形BCDE的面積:△BFC的面積=?


15.有一個正整數的所有正因數和為3240，且所有正因數的倒數和為1620/1003，則此數為何？


16.解數謎(圖見活動-16)，求被除數


17.用數字1、2、3、4、5可排列出120個不同的五位數(數字不重複)。將它們由小到大依序排列，則第一個數是12345，第二個數是12354，...，第一百二十個數是54321。請問第80個數是什麼?


18.有一個英文單字由5個字母組成，如果將26個英文字母a，b，c，...，y，z按順序對應0到25這26個整數，那麼這個單字中的5個字母對應的整數按從左到右的順序分別為x_1，x_2，x_3，x_4，x_5。已知(x_1)+3(x_2)，4(x_2)，(x_3)+2(x_4)，5(x_4)，6(x_4)+(x_5)除以26所得的餘數分別為15，6，20，9，9。則該英文單字為何?


19.在一條直線上有2n個點，相鄰兩個點間距離為1，某人從第一個點開始跳到其他點，跳了2n次後回到第1個點，這2n次跳躍將這2n個點全部都到達了，問怎樣跳才能使他的路程最遠?


20.m個互不相同的正偶數和n個互不相同的正奇數總和為1987。對於所有這樣的
m，n求3m+4n的最大值


21.有十張正面與反面都寫上一個正整數的卡片，這十張卡片上面的20個正整
數都不同，每張卡片的正反兩面上的數之和=t都相等，且所有十張卡片正面之
數的總和等於所有十張卡片反面之數的總和。若其中九張卡片正面之數分別
為2,5,17,21,24,31,35,36,42,試問第十張卡片正面的數=x為多少？


22.(133^5)+(110^5)+(84^5)+(27^5)=n^5,求n之值?
SOL:
顯然n>133，n^5<133^5+110^5+(84+27)^5<3*133^5<(5/4)^5 *133^5
n<1.25*133
166≧n

任意整數與它的5次方冪的個位數相同
因此n可能為134，144，154，164

133≡1(mod3)，110≡2(mod3)，84≡0(mod3)，27≡0(mod3)
n^5≡1^5+2^5≡0(mod3)

164≡2(mod3)，154≡1(mod3)，144≡0(mod3)，134≡2(mod3)

所以n=144


23.求最小正整數n，使得十進制表示下n^3的末三位數是888


24.求最小正整數n，使得存在整數x_1，x_2，...，x_n，滿足
(x_1)^4 +(x_2)^4 +...+(x_n)^4=1599


25.已知三角形ABC的三高h_a=6，h_b=4，h_c=3，求三角形ABC的面積


26.求方程(2^x)+(3^x)-(4^x)+(6^x)-(9^x)=1的實數解


27.求解
x+y+z=1
(x^2)+(y^2)+(z^2)=131
(x^3)+(y^3)+(z^3)=385


28.在一圓盤內，用一些小的圓盤排成正六邊形的圖形(如活動-28)。當小圓盤的半徑趨近於0時，小圓盤的面積之和與大圓盤的面積的比值是多少?


29.在平面上給定5個點。已知連接這些點的直線互不垂直，互不重合，也不平行。通過每一點向其餘4點的各條連線作垂線，這些垂線的交點最多有多少個?(不包括原來的5個點)


30.已知f(x)=a(x^2)+bx+c在[0，1]上的函數值的絕對值不超過1，求│a│+│b│+│c│的最大值


31.函數f定義在有序正整數對的集合上，且滿足下列性質:
(1)f(x，y)=x
(2)f(x，y)=f(y，x)
(3)(x+y)f(x，y)=yf(x，x+y)
求f(14，52)=?


32.分解因式:[(b-c)^6]+[(c-a)^6]+[(a-b)^6]-9[(a-b)^2][(b-c)^2][(c-a)^2]-2[(a-b)^3]
[(a-c)^3]-2[(b-c)^3][(b-a)^3]-2[(c-a)^3][(c-b)^3]


33.設想地球是一個半徑為R(=6400千米)的球，從南極至北極打一條隧道，長為2h。求地球剩下部份的體積

SOL

設一個與洞口平行的平面，設它到球心距離d，則外圓半徑平方為R^2-d^2，內圓半徑為R^2-h^2

得知面積為pi(h^2-d^2)，這平面與半徑為h的環相截得到一個圓，面積相等

由祖氏定理得知，地球剩下部份的體積為(4/3)pi(h^3)


34.三角形ABC，AB=5，BC=3，AC=19^(1/2)，P為內部一點，求
PA+PB+PC之最小值


35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?


36.試確定[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004小數點前一位數字和後一位數字


37.設x∈R，x≠n*pi，n∈Z，求3(sin x)^2+5(csc x)^2的最小值


38.求方程(x^2)+x=(y^4)+(y^3)+(y^2)+y的整數解


39.求(x^4)+(y^4)+(z^4)=2(x^2)(y^2)+2(y^2)(z^2)+2(z^2)(x^2)+24的整數解


40.設m，n為正整數，且n>1，求│(2^m)-(5^n)│的最小值


41.圓內接四邊形ABCD的四邊長AB，BC，CD，DA的長均為正整數，DA=2005，
∠ABC=∠ADC=pi/2，且max{AB，BC，CD}<2005。求四邊形ABCD的周長的最大值與最小值


42.在1~2004中，有多少個整數可表示為[2x]+[4x]+[6x]的形式，這裏x為實數


43.求所有非負整數x、y、z，使得(2^x)+(3^y)=z^2


44.試求出所有的正整數a、b、c，其中1<a<b<c，且使得(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因數


45.求所有的正整數a、b、c，使得(a^2)+1和(b^2)+1都是質數，且滿足[(a^2)+1][(b^2)+1]=(c^2)+1


46.在已知弓形內，求一內接矩形(兩頂點在圓弧上，一邊在弦上)，使其面積最大


47.設f:N_0→N_0(非負整數集)，且對所有m、n∈N_0，有f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或1，又設f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)


48.若x，y，z是各不相同的自然數，a也是自然數，且滿足條件(1/x)+(1/y)+(1/z)=(1/a)
試求x，y，z，a


49.從1開始，依自然數的順序寫:
12345678910111213...22212222，
一直寫到2222，試問共寫了多少個0?


50.求所有正整數m，n，使得不等式
[(m+n)a]+[(m+n)b]≧[ma]+[mb]+[n(a+b)]
對任意實數a，b都成立。這裡[x]表示實數x的整數部份

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-12-17 08:06 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
17.用數字1、2、3、4、5可排列出120個不同的五位數(數字不重複)。將它們由小到大依序排列，則第一個數是12345，第二個數是12354，...，第一百二十個數是54321。請問第80個數是什麼?

以1為首的有  4!=24 累計24
以2為首的有  4!=24 累計48
以3為首的有  4!=24 累計72
以41為首的有  3!=6 累計78
第79個為 42135
第80個為 42153

Ans:42153

49.從1開始，依自然數的順序寫:
12345678910111213...22212222，
一直寫到2222，試問共寫了多少個0?

個位數為0者 222 個  ---> 10 20 30 .... 2220
十位數為0者 220 個
(100~109,200~209,...,900~909...90個)
(1000~1009,1100~1009,...,1900~1909 共100個)
(2000~2009,2100~2109,2200~2209,共30個)
百位數為0者 200 個 ---> (1000~1099,2000~2099)

222+220+200=642

Ans:642個

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-15 06:36 PM 編輯 ]

‧幻星〞

10.現有21個車站，n家客運公司，若每家客運公司都在5個車站兩兩之間經營客運路線，且每個車站之間都至少有一直達路線，則客運公司至少需要幾家？

總共需要21*20/2=210條路線
每個公司可以供應5*4/2=10條路線
210/10=21

答：21家



13某個將軍有1000個武士，任何兩名武士或者互為朋友、或者互為敵人、或者互不相識，而且武士之間只和朋友說話。已知：對於每個武士而言，他的任何兩個朋友都互為敵人，而他的任何兩個敵人都互為朋友。若將軍要使所有武士都知道一項新命令，則將軍至少要通知多少名武士？

如果有一位武士他有兩個朋友
那這三個人之間的關係不會產生矛盾
但如果有一位武士有三位朋友
則此四人的關係會有矛盾
(可畫圖得知)
所以一位武士最多只能有2位朋友...(1)

接下來將所有五是以鏈狀方式表示：
武士1和武士2是朋友，武士2和武士3是朋友，武士3和武士4是朋友
會發現如果只有五個人不會有問題
但如果到第六個人就會和(1)產生矛盾

所以1000/5=200

答：200次

流刃如火

49.
1~100=>11個0(1*9+2
101~1000=>181個0(1*9*9+1*9*9+2*8+3
1001~2000=>300個0(2*9+2*9+2*9+3*9*9+3
2001~2222=>150個0(6*9+2*2+1*9*9+11
共11+181+300+150=642個0
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經過多次修改....
這次答案應該對了~~

[ 本文最後由 流刃如火 於 07-7-15 09:31 PM 編輯 ]

‧幻星〞

35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?

延長EF交AD於M
AD平行BC
AM：AE=MF：FE=DF：FC=1：1
AF垂直ME
AD：DF=FC：CE
CE=2
又三角形DFC全等於三角形EFC
AE=AD+MD=AD+CE=8+2=10

答：10


15.有一個正整數的所有正因數和為3240，且所有正因數的倒數和為1620/1003，則此數為何？

設此數為X
X所有正因樹的倒數和=(X的正因數和)/X=3240/X=1620/1003
X=2006

答：2006

[ 本文最後由 ‧幻星〞 於 07-7-15 10:27 PM 編輯 ]

aeoexe

15.有一個正整數的所有正因數和為3240，且所有正因數的倒數和為1620/1003，則此數為何？

首先從倒數和1620/1003,可得知該數為1003k,
而從正因數和3240,我們可以k<or =3(k為正整數)
但因為3240-1003=2234<3009
所以k不能為3
得k=1,2(由k為正整數及k<or=3得知)
而k=1時,正因數之和=1080<3240,
因此k不能為1,
k=2時,正因數之和為3240,正因數倒數之和為1620/1003,
所以該數為1003*2=2006
===
35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?

∠DAE/2=∠DAF
tan∠DAF=(8/2)/8=1/2
tan∠DAE=(2*1/2)/(1-(1/2)^2)=4/3
∠EAB=90度-∠DAE
所以tan∠EAB=1/tan∠DAE=3/4
BE=8*3/4=6(8為正方形邊長)
AE=sqrt(6^2+8^2)=10


[ 本文最後由 aeoexe 於 07-7-15 09:34 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
11.有一數列:1/1，1/2，2/2，1/3，2/3，3/3，1/4，2/4，3/4，4/4，...。設其前n項之和為Sn，試求:lim(n→∞) (Sn)/n=?

先分群
1/1
1/2 2/2
1/3 2/3 3/3
.....

求其和Sm為sigma(i=1~m)[i*(i+1)/(2i)]=sigma(i=1~m)[(i+1)/2]=m*(m+1)/4+m/2=m*(m+3)/4
而項數n=m*(m+1)/2
所以

lim(n→∞) (Sn)/n => lim(m→∞) (Sm)/n= lim(m→∞)[m*(m+3)/4]/[m*(m+1)/2]
=lim(m→∞) (m+3)/(2m+2)=lim(m→∞) (1+3/m)/(2+2/m)=1/2 =0.5

Ans:0.5

35.正方形ABCD(邊長=8)中，F是CD邊上的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求AE=?

此題我用面積相等做

設BE線段=x,EC=8-x
且 sin(角FAC)=sin(角DAF)=1/根號(5) ----(AF線段長=根號(8*8+4*4)=4根號(5),然後可求sin(角DAF)   )

利用面積相等

正方形面積=三角形ADF+三角形ABE+三角形EFC+三角形AEF
8*8=4*8/2+8x/2+4*(8-x)/2+(1/2)*4根號(5)*根號(64+x^2)*(1/根號(5))
=> 64=16+4x+16-2x+2*根號(64+x^2)
=> 32=2x+2*根號(64+x^2)
=> 16-x=根號(64+x^2)
=> 256-32x+x^2=64+x^2
=> 192=32x
=> x=6

所以AE線段為 根號(8^2+6^2)=10

Ans:10

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-15 10:11 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
22.(133^5)+(110^5)+(84^5)+(27^5)=n^5,求n之值?

先用笨方法算XD

133^5=41615795893
110^5=16105100000
84^5=4182119424
27^5=14348907

(133^5)+(110^5)+(84^5)+(27^5)=61917364224


61917364224=2^5*2^5*2^5*2^5*3^5*3^5=(2*2*2*2*3*3)^5=144^5

n=144

Ans:144

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-15 11:12 PM 編輯 ]

aeoexe

腦細胞又遭秒了........
很辛苦,
辛苦地解了一題...
(吐血中)
====
16.答案:10040678,
解....

解答案不是最辛苦,
最辛苦的事是要做解....
OTL....


[ 本文最後由 aeoexe 於 07-7-16 04:16 PM 編輯 ]

‧幻星〞

36.試確定[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004小數點前一位數字和後一位數字

[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004+[(3^1/2)-(2^1/2)]^2004
=(2^1/2)^2004+(3^1/2)^1002+(2^1/2)^1000+(3^1/2)^1002+...+(2^1/2)^2+(3^1/2)^2
=2^1002+3^1002+2^1001+3^1001+...+2+3

我們會發現
2^n+3^n
尾數是5,8,3,0,5,8,3,0不斷的循環下去..
所以2^1002+3^1002+2^1001+3^1001+...+2+3的尾數是8
又[(3^1/2)-(2^1/2)]^2004=0.00..多
所以[(2^1/2)+(3^1/2)]^2004小數點前一位為7小數點後一位為9


4.將3^11表示成k個連續正整數的和。試求項數k的最大值
若3^11能表示成k個連續整數的和
則k可為3^11的所有奇因數或所有的因數*2(不能和原本有的重複)
而如果要為連續正整數的和的話要3^11/k>k
兩著值越相近k越大
k最大值=2*3^5

[ 本文最後由 ‧幻星〞 於 07-7-15 11:23 PM 編輯 ]