暑假挑戰50

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
23.求最小正整數n，使得十進制表示下n^3的末三位數是888

step1 可知最小正整數n,個位數必為2
step2 討論2位數是否存在合適解  令n=10a+2

(10a+2)^3 mod 1000 = 600a^2+120a+8
由十位數知 a=4 or 9 但此兩者百位數皆不合

step3 討論3位數是否存在合適解  令n=100a+10b+2
(100a+10b+2)^3 mod 1000 = 200a+600b^2+120b+8
今觀察十位數知 b=4 or 9
討論b=4
200a+088  a=4 or 9
所以得解 442,942

討論b=9
200a+688  a=1 or 6     (688 為  (600*9*9+120*9+8) mod 1000 )
所以得解 192,692

在解中 442,942,192,692 中最小的為192

Ans:192

(有點小筆誤,已改正)

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-16 01:30 PM 編輯 ]

y2i74kh9

   38.求方程(x^2)+x=(y^4)+(y^3)+(y^2)+y的整數解

完全的笨方法！
(x^2)+x=(y^4)+(y^3)+(y^2)+y
x(x+1)=y[(y^3)+(y^2)+y+1]
假定y>1,先設y=2代入
x(x+1)=2[(2^3)+(2^2)+2+1]=30
x(x+1)=30=5*6
x=5

ANS:  x=5  y=2

tzhau

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

令△APE面積為a , △CDP為b

因△AFP面積：△BFP面積=△ACP面積：△BCP面積=4：3

所以(84+a)/(35+b)=4/3...................................................(1)

又因△CDP面積：△BDP面積=△ACP面積：△ABP面積

所以(84+a)/(40+30)=b/35................................................(2)

由(1)(2)可解得a=56 , b=70

所求△ABC面積為84+56+40+30+35+70=315 ...........Ans

23.求最小正整數n，使得十進制表示下n^3的末三位數是888

　　  (i)從個位數來看，唯有2的三次方才會成為8 　　　所以個位數為2
　　  
          (ii)從十位數來看，設十位數為x，則(10x +2)^3後兩位也為88
         
          (10x + 2)^3=1000x^3+600x^2+120x+8.................x為4或9
      
      (iii)當x=4時  ，設百位數字為y，則(100y+42)^3後三位也為888
　　　　
                 (100y + 42)^3=1000000y^3+1260000y^2+529200y+74088...........y為4或9
           
           當x=9時  ，設百位數字為y，則(100y+92)^3後三位也為888

           (100y + 92)^3=1000000y^3+2760000y^2+2539200y+778688...........y為1或6
         

        因此滿足題意的數字有442、942、192、692....      最小值為192

[ 本文最後由 tzhau 於 07-7-16 05:28 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

見圖

25.已知三角形ABC的三高h_a=6，h_b=4，h_c=3，求三角形ABC的面積

知 三高h_a=6，h_b=4，h_c=3
邊比 a:b:c=1/6:1/4:1/3=2:3:4

令 a=2m , b=3m , c=4m
知邊長可算三角形面積 S 利用海龍公式
S=根號((9m/2)*(5m/2)*(3m/2)*(m/2))=6m ( 2m*6/2=6m)
=> 6m=(3m^2)*根號(15)/4
=> m=8/根號(15)

知S=6m=6*8/根號(15)
S=48/根號(15)

Ans:48/根號(15)

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-16 09:22 PM 編輯 ]

eton

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

設     中央為O
        BC上的點為D
        AC上的點為E
        AB上的點為F

        AOE=x
        COD=y        

由西瓦定理得
(y/35)(3/4)(x/84)=1-----------1

(84+x+40):(y+35+30)=4:3-------2

由上面兩個解出
x=56
y=70

△ABC的面積=315

18.有一個英文單字由5個字母組成，如果將26個英文字母a，b，c，...，y，z按順序對應0到25這26個整數，那麼這個單字中的5個字母對應的整數按從左到右的順序分別為x_1，x_2，x_3，x_4，x_5。已知(x_1)+3(x_2)，4(x_2)，(x_3)+2(x_4)，5(x_4)，6(x_4)+(x_5)除以26所得的餘數分別為15，6，20，9，9。則該英文單字為何?

整理一下
(x1)+3(x2)        =26a+15
4(x2)                =26b+6
(x3)+2(x4)        =26c+20
5(x4)                =26d+9
6(x4)+(x5)        =26e+9

先求(x4)
        (x4)=(26d+9)/5
        (x4)為0~25的正整數
        因此求出(x4)=7

再來是(x3)
        將(x4)代入
        (x3)=26c+6
        理由同上
        (x3)=6

然後(x5)
        同上
        (x5)=19

再來(x2)
        (x2)=(26b+6)/4
        可求出(x2)=8 or 21

最後是(x1)
        用(x2)代入
        (x1)=17 or 4
---------------------------------------
(x1)=17 or 4
(x2)=8 or 21
(x3)=6
(x4)=7
(x5)=19

對照後可得:
right or evght(不像單字)

單字為"right"

[ 本文最後由 eton 於 07-7-16 06:42 PM 編輯 ]

‧幻星〞

2.如圖(活動-2)，△ABC被通過它的三個頂點與一個內點的三條直線分成六個小的三角形，其中四個小三角形小三角形的面積在圖中標出.求△ABC的面積

設左邊面積a右邊面積b

(84+a)：40=(b+35)：30
2520+30a=1400+40b
→3a+112=4b...(1)

(a+84)：70=b：35
84+a=2b
→168+2a=4b...(2)
(1)-(2)→a-56=0
a=56
b=70
三角形ABC面積=84+70+35+30+40+56=315

答：315

~冠~

47,
If m=n=1 and we know f(m+n)-f(m)-f(n)=0or1,andf(2)=0
We get 0=f(2)=2f(1)+0(or1)
f(1)>=0,so f(1)=0
If m=2, n=1, we have f(3)=f(2)+f(1)+0or1=0or1.
but we know that f(3)>0, so f(3)=1
We can claim that f(3k)=k (k is a natural number, andk<3333)
Acrodding to  f(m+n)-f(m)-f(n)=0or1,
f(3k)=f(3(k-1)+3)>=f(3(k-1))+f(3)
so, f(6)=f(3*2)>=2f(3)=2
if we have f(3m-3)>=m-1, we get f(3m)=f(3(m-1)+3)>=f(3(m-1))+f(3)>=(m-1)+1=m
Acrodding to Mathematical Induction, we can easily learn that f(3m)>=m (m>=2)
so, if there exisits a k, k<3333 such that f(3k)>k
then f(3k)>=k+1 and we also have f(9999)>=f(9999-3k)+f(3k)
>=(3333-k)+k+1=3334>3333
This is impossible, cause we've already known f(9999)=3333

so,
1982=3*660+2, f(1)=0, f(2)=0, f(m+n)-f(m)-f(n)=0or1 and f(3k)=k,
let m=1982, n=1
we get 661=f(3*661)-f(1)>=f(1982)=f(3*660+2) >=f(3*660)+f(2)=660
9999=1982*5+89,
if f(1982)=661,
f(9999)=f(1982*5+89)>=5f(1982)+f(89)=5*661+f(89)=3305+f(89)>=3305+f(87)+f(2)
=3305+29=3334>3333
That's impossible, so f(1982)=660

~冠~

20,
I was fooled by this problem= =
the sum of first n odd numbers>= 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2
Even numbers are quite the same,
then1987>=total>= n^2 + m^2 + m
=>(2n)^2 + (2m+1)^2 <= 7949
(6m+3 + 8n)^2<=   [(2m+1)^2 + (2n)^2]*[9 + 16]
(Cachy-Schwarz)
3m+4n <= 221.39291150684895658952593428175
(Use calculator,XD)
so, we can choose1,3,5,.....,69 and 2,4,6,...,50,52,60
m=27, n=35 3m+4n=221

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-16 03:38 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
25.已知三角形ABC的三高h_a=6，h_b=4，h_c=3，求三角形ABC的面積

知 三高h_a=6，h_b=4，h_c=3
邊比 a:b:c=1/6:1/4:1/3=2:3:4

令 a=2m , b=3m , c=4m
知邊長可算三角形面積 S 利用海龍公式
S=根號((9m/2)*(5m/2)*(3m/2)*(m/2))=6m ( 2m*6/2=6m)
=> 6m=(3m^2)*根號(15)/4
=> m=8/根號(15)

知S=6m=6*8/根號(15)
S=48/根號(15)
S=48*根號(15)/15
S=16*根號(15)/5

Ans:16*根號(15)/5

~冠~

46.
O為圓心,r為半徑,令此矩形為ABCD.
其中C,D在弦上.
設弦心距為x, x+AD=y.
則AD=y-x, AB=2sqrt(r^2-y^2)
面積S=2sqrt(r^2-y^2)(y-x)
S^2=4(y-x)^2(r+y)(r-y)
我們想要用著名不等式(AM>=GM)
所以改寫等式使得可以消掉某些項,
S^2=(4/mn)*(y-x)(y-x)m(r+y)n(r-y)

選取m=(r-y)/y n=(r+y)/y
我們知道 S^2<=(4/mn)[((m+n)r-2x)/4]^4
(r+y)/y*(r-y)=y-x =>2y^2-xy-r^2=0,解得:y=[x+sqrt(x^2+8r^2)]/4
故,AD+x取此值時,有Max.