暑假挑戰50

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
21.有十張正面與反面都寫上一個正整數的卡片，這十張卡片上面的20個正整
數都不同，每張卡片的正反兩面上的數之和=t都相等，且所有十張卡片正面之
數的總和等於所有十張卡片反面之數的總和。若其中九張卡片正面之數分別
為2,5,17,21,24,31,35,36,42,試問第十張卡片正面的數=x為多少？

(1)
十張卡片上面的20個正整數
正面10個正整數
反面10個正整數
共20個

(2)
每張卡片的(正反兩面上的數之和)=t都相等
所以總和為 10t

(3)
且所有十張卡片正面之
數的總和等於所有十張卡片反面之數的總和

(4)
若其中九張卡片正面之數分別
為2,5,17,21,24,31,35,36,42,

2+5+17+21+24+31+35+36+42=213

t>42
不為
44,47,59,63,66,73,77,78
38,41,53,57,60,67,71
37,40,52,56,59,66
33,36,48,52,55
26,29,41,45
23,26,38
19,22
7

整理一下
t>42
不為
44,45,47,48,52,53,55,56,57,59,60,63,66,67,71,73,77,78

正面和 213+x
反面和 10t-213-x
213+x=10t-213-x
426+2x=10t

t=43時 x=2  不合
t=46時 x=17 不合
t=49時 x=32 但(17,32)不合
t=50時 x=37 經比對後吻合
t=51時 x=42 不合
t=54時 x=57 57 > 54 不合
t=58時 x=77 77 > 58 不合
t=61時 x=92 92 > 61 不合
可知後來 t越大 x都遠超越t

f(t)=x=5t-213 由於斜率為5>1所以x變量最後會遠超過t

十張牌為 (2,48) (5,45) (17,33) (21,29) (24,26) (31,19) (35,15) (36,14) (37,13) (42,8)
十張牌正面和為250
十張牌反面和為250
十張牌總和為500
t=50

Ans:37

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-16 11:10 PM 編輯 ]

~冠~

37.
3(sin x)^2+5(csc x)^2=3(sin x)^2+5/(sinx)^2
=3[(sin x)^2+1/(sin x)^2]+2/(sin x)^2
>=3*2+2/1=8
so, 8 is its Min.

~冠~

35.
Draw a segment FH perpendicular to AE.
Beacuase AFi is DAE's angle bisector, so FH=DF=4
Also, we can easily prove that FE is HFC's angle bisector.
Thus, we'll have triangle FEH and AEF are similiar.
Let CE=HE=x
then, 4/sqrt80=x/sqrt(16+x^2)
=>x=2 =>AE=8+2=10

‧幻星〞

14
四邊形BCDE/三角形BFC=(BD*CE)/(BF*CF)

由孟氏定理和內分比
BE/AE*AC/CD*DF/BF=1
BC/AC*(AB+BC)/BC*DF/BF=1
DF/BF=BC/(AB+BC)
BD/BF=(AB+BC+AC)/(AB+BC)

同理
CE/CF=(AB+BC+AC)/(AC+BC)

BD/BF*CE/CF
=(AB^2+BC^2+AC^2+2AB*AC+2AC*BC+2AB*BC)/(BC^2+AB*AC+AC*BC+AB*BC)
=(2AB^2+2AC^2+2AB*AC+2AC*BC+2AB*BC)/(AB^2+AC^2+AB*AC+AC*BC+AB*BC)
=2

答：2

~冠~

28.設小圓盤半徑為r,
小圓盤總數可以這樣計算,
假設第m列有n+m-1個,
則總數為3n^2-3n+1
面積=(3n^2-3n+1)pir^2

大圓的面積為:(4n^2-4n+1)pir^2
若小圓盤半徑鄒近於0,
則總數可以->無限 (即n->無限)
面積比即為:
lim_(n->無限)=(3n^2-3n+1)/(4n^2-4n+1)=3/4

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-17 01:55 AM 編輯 ]

~冠~

17,
首位數為1,2,3的各有C4取4=24種,
24*3=72.
表示第80種是在首位數為4的情況之下.
41235 41253 41325 41352 41523 41532 42135 42153
=>N0.80=42153

~冠~

27.
[(x+y+z)^2-131]/2=-65,
xy+yz+zx=-65
[1*(131+65)-385]/3=63
xyz=63
We produce a function
f(t)=t^3-t^2-65t-63
f(t)=0, the three roots are x,y,z
Thus (x,y,z)=(-1,-7,9) and its permutation.

~冠~

44.
What a familiar problem! I remember it was an IMO problem that I've done before...XD
Let f:N->N=(abc-1)/(a-1)(b-1)(c-1), 1<a<b<c
f(a,b,c)=1+1/(a-1)+1/(b-1)+1/(c-1)
obviously, f(a,b,c)>1,
abc-1 (a-1)(b-1)(c-1) must me two odd numbers or two even numbers.
That implies a,b,c must be all odd or all even.
1+1/(a-1)+1/(b-1)+1/(c-1)<3/(a-1) =>a<4,
if a=3, The minimum is f(3,5,7)<3
so f(3,b,c)=f(a,b,c)
let f(3,b,c)=2
we get bc-4b-4c+5=0,=>b=5 c=15
We found one solution (3,5,15)

if a=2 the min f(2,4,6)<4
f(a,b,c)=f(2,b,c)=2 or 3.
f(2,b,c)=2 (no such solution)
so, f(2,b,c)=3, 2bc-1=3(b-1)(c-1) b=4 c=8,
We found another solution, (2,4,8)

Above all, we claim that there are only two solutions,
(3,5,15)and(2,4,8)

~冠~

34.
三角形ABC的內角均<120度,所以此點即此三角形的費馬點.
PA^2+PB^2+PA*PB+PB^2+PC^2+PB*PC+PA^2+PC^2+PA*PC
=AB^2+AC^2+BC^2=53,

由費馬點的性質PA+PB+PC=[sqrt2(a^2+b^2+c^2+4sqrt3*S)]/2
(S為ABC的Area=15sqrt3/4)
所以,最後得到的值為7...

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-18 12:41 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-7-15 05:58 PM 發表
37.設x∈R，x≠n*pi，n∈Z，求3(sin x)^2+5(csc x)^2的最小值

用微積分解

f(x)=3(sin x)^2+5(csc x)^2

f'(x)=6cosxsinx-10cotx(cscx)^2=0時有極值

f'(x)=cosx(6sinx-10/(sinx)^3)=0

已知 cosx=0 時有極值 表sinx=1 or -1

討論 6sinx-10/(sinx)^3 是否為0
6sinx-10/(sinx)^3 = 0
(sinx)^4=10/6 不合 ,表示此項不為0

代入 sinx=1 or -1 至原方程 (當sinx=1,cscx=1    sinx=-1,cscx=-1)
3*1^2+5*1^2=3+5=8

Ans:8