暑假挑戰50

turnX

7.如圖(活動-7)，S1和S2是直角三角形ABC的兩個內接正方形，已知S1的面積為441，S2的面積為440，求:AC+BC之值

~冠~有看過題目,先用他的值算好了.如果照原題目,方程式是無解的

[ 本文最後由 turnX 於 07-7-18 07:41 PM 編輯 ]

aeoexe

1.求所有形如(n^n)+1且不超過10^19的質數，這裏的n為正整數
首先先求n的最大值,
如果n=16的話,1.844.....*10^19,
所以n只能小於或等於15,
因為y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)
y^5+1=(y+1)(y^4-y^3+y^2-y+1)
y^7+1=(y+1)(y^6-y^5+y^4-y^3+y^2-y+1)
y^11+1=(y+1)(y^10-y^9+y^8-y^7+y^6-y^5+y^4-y^3+y^2-y+1)
y^13+1=(y+1)(y^12-y^11+y^10-y^9+y^8-y^7+y^6-y^5+y^4-y^3+y^2-y+1)
所以3^3+1,5^5+1及7^7+1,11^11+1,13^13+1也不能為質數
(分別代入y=3,5,7,11就可知道,這四個數為兩個自然數的乘積)
代入y=6^2,9^3,12^4,15^5,可由y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)得6^6+1,9^9+1,12^12+1,15^15+1為兩個自然數的乘積,即不為質數,
代入y=10^2,即可由y^5+1=(y+1)(y^4-y^3+y^2-y+1)得知10^10+1為兩個自然數的乘積,即不為質數...
代入y=14^2,即可由y^7+1=(y+1)(y^6-y^5+y^4-y^3+y^2-y+1)得知14^14+1為兩個自然數的乘積,即不為質數
現在只剩下1^1+1,2^2+1,4^4+1,8^8+1,
但8^8+1=97*172961,所以不為質數,
所以形如n^n+1的質數有,1^1+1=2,2^2+1=5,4^4+1=257

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-7-18 06:55 PM 編輯 ]

~冠~

8.
真是個刁難的題目....
f(x)=f(398-x)=f(2158-x)=> f(x) = f(1760+x)
f(x)=f(2158-x)=f(3214-x) => f(x)=f(1056+x)
以上兩式可以推出 f(x)=f(x+352),
再由f(x)=f(398-x),我們會得到f(x)=f(46-x).
於是,我們可以利用f(x)=f(46-x)=f(352+x)來試著帶入數值去找解答.
意思就是說...x=352左邊的函數圖形和右邊的對稱.
我們取 x=23-176,3-175,...,23-1,23,鏡射點即23+1,23+2,...,23+176.
如此共有177個不同的值.
如果我們按此方法在0,1,...,999中,會出現最多177個不同的值.
因此MAX=177.

~冠~

26,
I thought too far, it was quite a simple problem, though.
Let 2^x=a, 3^x=b.
a+b-a^2-b^2+ab=1
=>a^2+b^2-a-b+ab+1=(( a-b)^2+( a-1)^2+(b-1)^2)/2=0
That implies a=b=1.
So that x=0.
(Only solution)

turnX

26.求方程(2^x)+(3^x)-(4^x)+(6^x)-(9^x)=1的實數解

令 2^x=a , 3^x=b
原式=a+b-a^2-b^2+ab
f(a,b)=a+b-a^2-b^2+ab

用偏微分
df/da = 1-2a+b
df/db = 1-2b+a
當 1-2a+b=1-2b+a 時有極值
整理出來得 a=b

令 a=b=x
f(x,x)=x+x-x^2-x^2+x^2
f(x,x)=2x-x^2

這裡變成單變量
f(x)=2x-x^2

求其極值
f'(x)=2-2x
令f'(x)=0
2-2x=0 => x=1
代如入f(x) 的f(1)=1 符合我們要求的

所以a=b=1
2^x=1 , 3^x=1
只有一解當x=0時

所以x=0為所求,為唯一解
Ans: x=0

不知這樣解釋是否正確

‧幻星〞

12.設數列<a_n>，其中a_n表最接近√a_n之正整數值，試求Σ(n=1~2003) a_n=?

設<a_n>=K
(K+0.5)^2-(K-0.5)^2=2K
所以有2K個n會使得<a_n>=K
其總和為2K^2
2*1加到44=1980最接近2003又比2003小
2003-1980=23
有23個45
44*(44+1)*(2*44+1)/3=58740
62790+23*45=59775

A：59775

turnX

39.求(x^4)+(y^4)+(z^4)=2(x^2)(y^2)+2(y^2)(z^2)+2(z^2)(x^2)+24的整數解

= =拼了

(x^4)+(y^4)+(z^4)-2(x^2)(y^2)-2(y^2)(z^2)-2(z^2)(x^2)=24
=>[(x^4)+(y^4)+(z^4)-2(x^2)(y^2)-2(y^2)(z^2)+2(z^2)(x^2)]-4(z^2)(x^2)=24
=>(x^2-y^2+z^2)^2-(2xz)^2=24
=>(x^2-y^2+z^2+2xz)*(x^2-y^2+z^2-2xz)=24
今
令x^2-y^2+z^2=A
令2xz=B

A,B都為整數,因為x,y,z為整數

開始討論

A+B=1
A-B=24  B=-23/2
或
A+B=24
A-B=1   B=23/2

都不合

-----------------------

A+B=2
A-B=12 B=-5

A+B=12
A-B=2  B=5

都不合 2xz = -5  xz=-5/2 若 2xz=5 xz=5/2

-----------------------

A+B=3
A-B=8  B=-5/2
或
A+B=8
A-B=3   B=5/2

都不合

-----------------------

A+B=4
A-B=6  B=-1

A+B=6
A-B=4  B=1

都不合

------------------------
A+B=-1
A-B=-24  B=23/2
或
A+B=-24
A-B=-1   B=-23/2

都不合

-----------------------

A+B=-2
A-B=-12 B=5

A+B=-12
A-B=-2  B=-5

都不合 2xz = -5  xz=-5/2 若 2xz=5 xz=5/2

-----------------------

A+B=-3
A-B=-8  B=5/2
或
A+B=-8
A-B=-3   B=-5/2

都不合

-----------------------

A+B=-4
A-B=-6  B=1

A+B=-6
A-B=-4  B=-1

都不合

所以根本沒有整數解存在

Ans:無解!

(這一次打的好心虛)

~冠~

43...
First, we assume x,y,z>0
The left hand side of the equation is an odd number plus an even number.
So, z is an odd number=>z^2=1 (mod4)
x cannot be odd number, because 3k+2 isn't a perfect square.
=> y must be an even number.
Let x be 2m, y be 2n.
4^m+9^y=z^2, we first let m>1
z^2-4^m=(z+4)(z-4)k,
(z+4)(z-4) is 9^n if and only if z is 5.
Otherwise z+4 and z-4 can't be both devided by 3.
(We'll prove this below)
So that we can easily get one of the solutions, (x,y,z)=(4,2,5)
If m=1, 4+9^n=z^2.
(z+2)(z-2)=9^n,
(1) z is 3p+1, so z-2=3p+1-2=3(p-1)+2
(2) z is 3p+2, so z+2=3p+2+2=3(p+1)+1
So, z-2 and z+2 can't be both devided by 3.

Above all, the equation only has three iteger solutions,
(x,y,z)=(4,2,5),(0,1,2),(3,0,3)
(The last two are pretty easy to find)

[ 本文最後由 ~冠~ 於 07-7-19 01:03 AM 編輯 ]

~冠~

42,
把可能的所有情況列出....
當[2x]+[4x]+[6x]
=1 (x=0.2)
=2 (x=0.3)
=3 (x=0.4)
=6 (x=0.5)
=7 (x=0.7)
=8 (x=0.8)
=9 (x=0.9)
=12 (x=1)
(括號內是當原式等於那個值時的情中一個解)
因此,12k+1,2,3,6,7,8,9,0都有辦法用[2x]+[4x]+[6x]表示之,
只要將上述的每一個x值都再加上k即可.
但是4和5<6,表示x必須<0.5,一旦x小於0.5,[2x]<1, [4x]<2 [6x]<3
而0+1+2=3 (不合)
10和11<12,表示x必須<1,一旦x小於1,[2x]<2, [4x]<4 [6x]<6
而1+3+5=9 (不合)
因此在1~2004中,12k+4,5,10,11共有668個數,
2004-668=1336.
可以用[2x]+[4x]+[6x] (x屬於R)表示出來的有1336個.

~冠~

24,
1599=15 (mod16)
(2k+1)^4=1(mod15)
so, if the left hand side are all odd numbers,
n will take the smallest value 15.
We give an example,
one 5 twelve 3 two 1,
625+12*81+2*1=1599.
So, the answer is 15.