暑假挑戰50

~冠~

48,
Assume that the greatest common divisor of x,y,z,a is 1.
Let gcd(x,y,z)=d, so that x=dm, y=dn, z=dk
So, the original equation became
a(mn+nk+mk)=dmnk,
Because gcd(x,y,z,a)=1,
So a=mnk, d=mn+nk+mk.
We can have x=m(mn+nk+mk), y=n(mn+nk+mk), z=k(mn+nk+mk), and a=mnk
(gcd(m,n,k)=1)
Hence, all the solutions of the equation are
x=tm(mn+nk+mk), y=tn(mn+nk+mk), z=tk(mn+nk+mk), a=tmnk
(t,m,n,k>0)

~冠~

48回國後再修正,應該是有漏解,不過照此來看應該不可能如板大所說只有6組解~
3.
由原式可輕易得: x^6+x^5+...+x+y^6+y^5+...+y=0
=>(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x+.....=0
(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x+(y+1)(y^2+y+1)(y^2-y+1)y=0
由於(x^2+x+1)和(x^2-x+1)恆正
所以當x在0和-1之間，(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)x為負的
反之為正的
若x不為0或-1，則x和y有一數介在0和-1
設0>x>-1 則y>0或y<-1
1+x^7=(1+y)(1+y^2)(1+y^4)
1>1+x^7>0
因(1+y^2)(1+y^4)>1
故0<1+y<1
0>y>-1 -><-
故答案僅有(0,0),(-1,-1)

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-7-20 11:49 PM 編輯 ]

appqq

1.因為n^n+1是質數
    所以n會是偶數或1
   最接近10^19的n^n的偶數是14^2
   所以n=1,2,4,6,8,10,12,14
4.假設a是k個連續整數中的第一個數
k個連續整數的和=(a+a+k-1)k/2=(2a+k-1)/2
k個連續整數要=3^11
所以(2a+k-1)k/2=3^11
(2a+k-1)k=2*3^11
因此k和2a+k-1要是整數且相乘要=2*3^11
而且a是正整數
由此式可以看出
當k越大時(2a+k-1)會變小
但是(2a+k-1)要大於k a才會是正數
所以k的最大值是2*3^5

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-23 06:42 AM 編輯 ]

appqq

2.


由於等底同高的關係
三角形ADE 和 BDE 底長度比是4:3
同理三角形AEB和它右邊的面積是35的小三角形的底邊比是2:1
這時用二次方程式
(x+40+84)/4=(y+35+30)/3     --------1.
3x+372=4y+260

(84+x)/2=y                         --------2.
84+x=2y
168+2x=4y

2.帶入1.
3x+372=168+2x+260
x=56
y=70
左邊小塊的三角形是56右邊的是70




16.由於第16題的圖沒辦法直接貼上，請到下面的連結
http://img171.imagevenue.com/img.php?image=56234_1225-16A_122_481lo.JPG

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-20 11:39 AM 編輯 ]

appqq

11.
  (1/1+1/2+2/2+.....)/n
=(1+1/2+1+1/3+2/3+1+...)/n
=(1+1.5+2+2.5...)/n
設n=1+2+3...+a
    =(a+1)a/2
   2n=a^2+a
   a^2+a-2n=0
   a=[-1+(1+8n)^(1/2)]/2
所以(1/1+1/2+2/2....)/n
    ={{[1+1+0.5(a-1)]a}/2}/n
    =[(1.5a+0.5a^2)/2]n
    =(1.5a+0.5a^2)/2n
    =(3a+0.5a^2)/4n
把a帶回[-1+(1+8n)^(1/2)]/2
    {3[-1+(1+8n)^(1/2)]/2+{[-1+(1+8n)^(1/2)]/2}^2}/4n
    ={[-3+3(1+8n)^(1/2)]/2+[1-2(1+8n)^(1/2)+1+8n]/4}/4n
    ={[-6+6(1+8n)^(1/2)]+[1-2(1+8n)^(1/2)+1+8n]}/16n
    =[-4+(1+8n)^(1/2)+8n]/16n
    lim(n→∞)  [-4+(1+8n)^(1/2)+8n]/16n
    =lim(n→∞) -4/16n +lim(n→∞) [(1+8n)^(1/2)/8n] +lim(n→∞) 8n/16n
    =0+0+1/2=1/2
    所以lim(n→∞) (Sn)/n=1/2
13.
  由於題目的要求所以同時有三個以上的朋友或敵人會造成矛盾
  所以一人最多認識兩個朋友和兩個敵人
  就如下圖
  
  此圖每個人都有兩個朋友和兩個敵人而且五人之間的關係也沒有造成任何衝突
  因此五個人一組
  將軍只要告訴1000/5=200個武士就可以讓全部武士都知道命令

[ 本文最後由 appqq 於 07-8-20 11:37 AM 編輯 ]

appqq

25.
同三角型面積會一樣
所以
3*4x=6*2x=4*3x
得知底邊比4:2:3
餘旋定理
c^2=a^2+b^2-2bc cosy
y=cos^-1((a^2+b^2-c^2)/(2bc))
cos^-1((16+9-4)/24)
得知底4和3的夾角角度cos^-1(21/24)
所以面積就是4*sec(cos^-1(21/24))*3/2=5.81818181....
面積約5.81單位平方

28.
19個小圓面積是19x^2pi
大圓面積是25x^2pi
所以當小圓的半就趨近於0時面積比值是
lim(x→0)(19x^2pi)/(25x^2pi)
=lim(x→0)19/25
=19/25
所以面積比值是19/25

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3.
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7 --->x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7=y^7......a
(1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7 --->y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+y^7=x^7......b
a-b=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+2x^7=y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+2y^7
y=x
把y=x帶入第1式
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+x^7
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6=0
x=y=0或-1

26.2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1
    2^x(1-2^x)+3^x(1-3^x)+6^x=1
x=0

appqq

17.P(5,5)=5!=120
120/5=24
15432.......24
25431.......48
35421.......72
41235........73

24/4=6
42135......79
42315......80

21.
2  5  17  21  24  31  25  26 42  37.........213+x

10t-213-x=213+x
10t-2x=426
x<t
所以
42.6<x<53.25
但因為x是整數
所以
43<x<53
而且上面數列裡面任兩數加起來不可以=x
所以x=50
第十張牌的正面數x=50

appqq

23.
假設n是百位數a+十位數b+個位數c
也就是n^3=(a+b+c)^3
(a+b+c)^3=
a^3+3a^2b+3a^c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc+c^3
因為a是百位數b是十位數c是個位數
所以每一項只管會影響到末三位數的地方
所以只剩下3ac^2+3b^2c+3bc^2+c^3
所以個位數c^3=8,c=2
之後剩下的還有
3ac^2+3b^2c+3bc^2
c帶入2
12a+6b^2+12b
b=40或90第二位數才會等於8
所以a有兩種可能
12a+9600+480--->12a+10080...........1
12a+48600+1080--->12a+49680..........2
所以a=400或100
因此a=100,b=90時n最小
所以n最小會是192

35.
邊長8的正方形ABCD且F為DC之中點
E在BC之間且角DAF=FAE
所以DAF是一個1:2:5^(1/2)的三角形
用三角函數
8[csc(2tan^-1(1/2)]=10
所以EA為10

[ 本文最後由 appqq 於 07-9-6 02:30 AM 編輯 ]