挑戰106

M.N.M.

普通
1.(2x^2 -15x+7)/[(x-1)(x+2)(x-3)]=a/(x-1) +b/(x+2) +c/(x-3)，求(a，b，c)=?

2.(x^2+x+2)/[(x-1)^3]=a/(x-1) +b/[(x-1)^2] +c/[(x-1)^3]，求(a，b，c)=?

難度
1.(x+2)/[(x^2 -1)(x-1)]=a/(x+1) + b/(x-1) + c/[(x-1)^2]，求a+b+c=?

2.設f(x)=2x^4 -x^3 +x^2 +2x +5，求f(1.501)的整數值

資優
1.已知{a_n}滿足a_n=3a_(n-2) -2a_(n-3)，且a_0=1，a_1=0，a_2=0，求a_n的一般表達式

2.已知{a_n}滿足a_n=[2a_(n-1) +6]/[a_(n-1) +1]，且a_0=2，求a_n的一般表達式

aeoexe

2.(x^2+x+2)/[(x-1)^3]=a/(x-1) +b/[(x-1)^2] +c/[(x-1)^3]，求(a，b，c)=?

a/(x-1) +b/[(x-1)^2] +c/[(x-1)^3=(ax^2-2ax+a+bx-b+c)/(x-1)^3
因為(ax^2-2ax+a+bx-b+c)/(x-1)^3=(x^2+x+2)/[(x-1)^3]
所以a=1,b-2a=1,a-b+c=2
代入a=1,得b=3,c+1-b=2
代入b=3,得c=4
所以(a,b,c)=(1,3,4)

1.(x+2)/[(x^2 -1)(x-1)]=a/(x+1) + b/(x-1) + c/[(x-1)^2]，求a+b+c=?
a/(x+1) + b/(x-1) + c/[(x-1)^2]=(a+b)x^2+(b+c-2a)x+(a-b+c)/(x^2-1)(x-1)
因為(a+b)x^2+(b+c-2a)x+(a-b+c)/(x^2-1)(x-1)=(x+2)/[(x^2 -1)(x-1)]
所以得a+b=0,b+c-2a=1,a-b+c=2
解方程後,得a=1/5,b=-1/5,c=8/5
所以a+b+c=8/5

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-8-17 09:27 PM 編輯 ]

傲月光希

原文由M.N.M. 於 07-8-17 06:21 PM 發表
1.已知{a_n}滿足a_n=3a_(n-2) -2a_(n-3)，且a_0=1，a_1=0，a_2=0，求a_n的一般表達式

利用特徵方程式解迴歸方程式

由原式可推得特徵方程式(m^3)-3m+2=0 => m=1,1,-2

因此a_n=A+Bn+C*(-2)^n

用初始值代入，得到方程組A+C=1,A+B-2C=0,A+2B+4C=0 => A=8/9,B=-2/3,C=1/9

因此a_n=(8/9)-(2n/3)+[(-2)^n]/9

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-8-18 12:52 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-8-17 06:21 PM 發表
難度
1.(x+2)/[(x^2 -1)(x-1)]=a/(x+1) + b/(x-1) + c/[(x-1)^2]，求a+b+c=?

通分相加得聯立方程

a+b=0
c-2a=1
a-b+c=2

解聯立得 c=3/2 b=1/4 c=-1/4

a+b+c=3/2

2.設f(x)=2x^4 -x^3 +x^2 +2x +5，求f(1.501)的整數值

令f(x)=(x-1.5)(2x^3-2x^2+4x+8)+17
f(1.501)=(0.001)(2x^3-2x^2+4x+8)+17
因此整數部份為17

[ 本文最後由 turnX 於 07-8-18 03:30 PM 編輯 ]

turnX

原文由M.N.M. 於 07-8-17 06:21 PM 發表
普通
1.(2x^2 -15x+7)/[(x-1)(x+2)(x-3)]=a/(x-1) +b/(x+2) +c/(x-3)，求(a，b，c)=?

通分展開得聯立方程

a+b+c=2
c-a-4b=-15
3b-2c-6a=7

=> a=1,b=3,c=-2

(a，b，c)=(1,3,-2)

[ 本文最後由 turnX 於 07-8-18 03:24 PM 編輯 ]

M.N.M.

資優2

a_n=[2a_(n-1) +6]/[a_(n-1) +1]=2+[4/(a_(n-1)+1)]

(a_n)+1=3+[4/(a_(n-1)+1)]

令b_n=(a_n)+1

(a_n)+1=3+[4/(a_(n-1)+1)]=3+4/[b_(n-1)]，b_0=3

設b_n=(p_n)/(q_n)

(p_n)/(q_n)=3+4/[p_(n-1)/q_(n-1)]=[3p_(n-1) +4q_(n-1)]/p_(n-1)

p_n=3p_(n-1) +4q_(n-1)，q_n=p_(n-1)

p_n=3p_(n-1) +4q_(n-1)=3p_(n-1) +4p_(n-2)，n>=2

p_0/q_0=b_0=3

p_0=3，q_0=1

b_1=3+4/(b_0)=13/3=p_1/q_1

p_1=13，q_1=3

由p_n=3p_(n-1)+ 4p_(n-2)

設特徵方程式x^2=3x+4

x=4 or -1

則p_n=(c_1)*(4^n)+(c_2)*(-1)^n

將p_0=3，p_1=13代入解聯立

=>p_n=(1/5)[(-1)^(n+1) +4^(n+2)]

q_n=p_(n-1)=(1/5)[(-1)^n +4^(n+1)]

b_n=p_n/q_n=[(-1)^(n+1)+4^(n+2)]/[(-1)^n+4^(n+1)]

a_n=(b_n)-1=[3*4^(n+1) +2(-1)^(n+1)]/[4^(n+1) +(-1)^n]