數學基本的積分技巧

傲月光希

本篇文章主要是要教導一些積分較基本的積分技巧有利於在作積分的題目的計算

首先先來簡單說明主要的積分技巧名稱

1.代換積分法
2.分部積分法
3.三角積分法
4.三角代換法
5.半角代換法
6.有理式積分法
7.雜類代換法

這些積分技巧是積分時最常使用的，而且可以解決大部分的題目，因此可說是必要的學習課程

以下將會一一介紹及舉例，證明的部份將略過

參考書籍：大學微積分課本
使用軟體：MathType 5

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1.代換積分法

在一個積分中的形式就是一個被積函數f(x)與一個所要積的變數x再加上積分符號
而代換積分法就是將dx裡面的x換作另外一種變數，有利於在積分時簡化許多

假設積分函數為f(x)，其函數的微分函數為f'(x)，則我們知道微分可寫成以下形式


微分的"d"本身就具有"微小的變化"的意思，因此我們可以將左是看作是分數，移項之後會得到


接著，再來看積分裡可以作變化，將dx變成了d[f(x)]新的變數，這就是代換積分法


舉個例子
例如這個題目


設f(x)=x^3，則f'(x)=3x^2，因此我們可以有下述解法


是不是變得簡化許多?

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-8-26 10:59 PM 編輯 ]

傲月光希

2.分部積分法

此積分法是大家最常用、最好用、最愛用的，因為積分的時候用這個方法是最不費腦力的

可惜的是，此積分法比較常用在當積分函數內有e指數函數與三角函數作乘積時用的，一般題目不太常用到

分部積分法的用法其實很好背，主要的步驟如下


但是如果要背起來，通常都是用以下的方式來背的


用分部積分法的時機大略有三種，以下將三種分開解說

一、積分函數有e指數的時候
例子1：


由於函數內有e指數，因此用代換積分法會比較困難，用了分部積分之後答案馬上顯現出來

二、積分函數有三角函數的時候
例子2：


理由同第一條，答案也是很快的出來了

三、積分函數同時有e指數與三角函數時
這種型的題目不像前兩條那麼不經大腦思考就可以解出，需要一點小技巧，看例子就知道

例子3：


這個題目我們要做兩次分部積分，我們可以先挑e指數變成dx的變數或者是三角函數
我們先挑e指數好了
令I=原式，則有以下解法


如果換作挑三角函數先作，方法就跟上面是大同小異的，各位可以自己試試看

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-8-22 11:12 AM 編輯 ]

傲月光希

3.三角積分法

顧名思義，就是針對積分函數內有特殊三角函數的情況時所用的積分法
使用此法的情形大概有以下幾種

一、

(i)n=1


(ii)n>1


例1：


二、

(i)n=1


(ii)n>1


例2：


三、

這邊我們需要利用到以下的三角函數性質


例3：


四、

在這個類型，我們以下需要用到一些三角函數的性質，列表如下


接下來對三種情形出三個例子
例4：


例5：


例6：


五、

這種類型與前面的有所不同，手法是用類似規則性來解題

例7：


六、

此類型與前一個相似，因此便不多作說明

例8：


[ 本文最後由 傲月光希 於 07-8-22 08:31 PM 編輯 ]

傲月光希

4.三角代換法

所謂的三角代換法就是將原先的積分變數代換成三角函數，而其中利用到的就是三角函數的六邊形關係表
會換到的情況就是當被積函數中有以下三種情形時可以使用


接下來我們將一一討論這三種情形

一、令x=asinθ，這是利用到(sinθ)^2+(cosθ)^2=1的性質
則就會產生以下結果


要記得，當你在不定積分有用其他變數代換時，最後把答案算出來時要把原先的變數再代回來，定積分則不用
代換變數時，後面的積分變數(dx)也要跟著一起變化，這就是利用微分加移向

例1：


最後記得要把x給代回來


二、令x=atanθ，這是利用到(secθ)^2=1+(tanθ)^2的性質
則會產生下列結果


例2：


三、令x=asecθ，這是利用到(secθ)^2-1=(tanθ)^2的性質
則會產生下列結果

例3：

接下來，要介紹一個叫做「雙曲函數代換法」
由於它長得很像三角函數，因此也於此一起介紹

一、當被積函數含有√(x^2+a^2)時，令x=asinh θ,dx=acosh θdθ

例4：

二、當被積函數含有√(x^2-a^2)時，令x=acosh θ,dx=asinh θdθ

例5：

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-8-23 09:12 PM 編輯 ]

傲月光希

5.半角代換法

這是一種新的代換法，當我們遇到題目中有sinx或cosx的時候，可以利用這種特殊的方法讓題目中的這兩個三角函數消失掉
第一步，我們先令z=tan(x/2)，之後我們可以得到以下結果

接下來，馬上出一個簡單的例題作示範
例1：

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-8-25 10:04 AM 編輯 ]

傲月光希

6.有理式積分法

所謂的有理式就是分數的分子與分母都是多項式的形式
在做有理式的積分時，有特殊的積分方法可以利用，以下有三點步驟
(i)先將分母因式分解
(ii)將原先的有理式化成部分分式(也就是化成真分數的意思，將分子的最高次數化得比分母小)
(iii)個別積分

將原分式化成部分分式就是將分子除以分母，會得到f(x)/g(x)=h(x)+r(x)/g(x)，h(x)為商式，r(x)為餘式

討論分母因式分解，可能會有以下分解方式
一、

若分母因式分解為這種形式，則可將原分式化成

要求出那些Ai的方法就是先假設出那些Ai，接著在將那些分式給通分合併，最後在利用比較係數法求出即可
例1：

二、

若分母因式分解為這種形式，則可將原分式化成

求出那些Ai的方法就是利用多項式的綜合除法即可
例2：

其綜合除法表示如下

(iii)若分母因式有二次以上，則假設以此因式為分母的分子的最高次數為分母最高次數減1，表示如(Ax+B)/(Cx^2+Dx+E)
其餘方式跟以上的兩種情形相同

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-8-25 10:51 AM 編輯 ]

傲月光希

7.雜類代換法

這是最後一個積分技巧了，由於實在很少在用，所以就將它看作是一種特殊解法吧
雜類代換法有三種情形可以使用

(i)若被積函數中有(ax+b)^(1/n)的形式，則

例1：

(ii)若被積函數中有√(q+px+x^2)，則

例2：

(iii)當被積函數中含有√(q+px-x^2)，則

例3：