國際競賽題3

~冠~

居然說我懶得打...囧
好...就送你考上數資的第一份賀禮~

1.難度:☆☆ (數論)
令S為一個有九個元素的集合,其中每一個元素都為互不相同的正整數,且每一個元素的質因數最大皆不超過3.
證明在S中必定存在三個元素,其乘積為完全立方數.

2.難度:☆☆ (幾何)
設四邊形ABCD的四邊等長且角ABC為60度,直線L通過點D且與四邊形ABCD不相交(除點D外);
並設直線L與直線AB,BC分別交於E,F. 且線段CE與AF交於M.
試證: CA^2=CM*CE

3.難度:☆☆☆☆ (代數)
試確定滿足下列性質的最大整數n:
n可以被所有小於n^(1/3)的正整數整除.

‧幻星〞

2.難度:☆☆ (幾何)
設四邊形ABCD的四邊等長且角ABC為60度,直線L通過點D且與四邊形ABCD不相交(除點D外);
並設直線L與直線AB,BC分別交於E,F. 且線段CE與AF交於M.
試證: CA^2=CM*CE

三角形ABC為正三角形
AB=BC=AC
所以三角形BCD也是正三角形
即ABCD為平行四邊形
∵CD平行BF　AD平行BG
∴三角形CDF相似三角形AED
→CF：CD=AD：AE→CF：AC=AC：AE
∵CF：AC=AC：AE
∴三角形ACE相似三角形CFA
→∠AEC=∠CAF
∵∠AEC=∠CAF　∠ACE=∠ACE
∴三角形AEC相似三角形CAM
CE：CA=CA：CM
得CA^2=CE*CM

appqq

3.試確定滿足下列性質的最大整數n:
n可以被所有小於n^(1/3)的正整數整除.


n^     n
(1/3)
1        1
2        8
3        27
4        64
5        125
6        216
7        343
8        512
9        729
10      1000

因為要能夠被n^(1/3)以下的數整除
所以n=n^(1/3)以下的數的最小公倍數的整數倍數
而且此最小公倍數不能大於(n^(1/3)+1)^3
所以最大的最小公倍數事[1,2,3,4,5,6,7]=420
如果是[1,2,3,4,5,6,7,8]=840就超過729那他的^(1/3)就會變成至少是9
所以n最大=420(因為他也沒辦法在*整數)