挑戰108

M.N.M.

國中
1.已知f(x)=1-2x+(x^2)-(x^3)，且g(x+1)=f(x+2)，h(x)=g(x+2)，求h(x)+x*(g(x)除以x+1之餘數為?

2.設f(x)=2(x^341)+5(x^7)+6x-2，則x-1除f(x)之餘式為?

3.設f(x)為多項式且f(1)=2，f(-1)=3，f(0)=5，f(3)=20，則f(x^2 +2x+3)之常數項為?

高中
1.設a，b，c為三個相異的實數且a+b+c不為0。證:a+b+c與(a^3)+(b^3)+(c^3)-3abc同號

2.ABCDE是正五邊形，從A做邊CD和CB、DE的延長線的垂線，垂足為P、Q、R、O是正五邊形中心且OP=1，則AO+AR+AQ=?

3.再同一平面上，若(OA向量)+2(OC向量=OE向量，且2(OA向量)+3(OC向量)+(OB向量=(0向量)，則四邊形AECO與四邊形AECB之面積比為?

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-8-26 05:32 PM 編輯 ]

奔向自由

高中
1.設a，b，c為三個相異的實數且a+b+c不為0。證:a+b+c與(a^3)+(b^3)+(c^3)-3abc同號

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

=1/2(a+b+c){(a-b)^2+(a-c)^2+(a-c)^2}

又{(a-b)^2+(a-c)^2+(a-c)^2} >0 且(a+b+c)不等於0

因此  a+b+c與(a^3)+(b^3)+(c^3)-3abc同號

aeoexe

2.ABCDE是正五邊形，從A做邊CD和CB、DE的延長線的垂線，垂足為P、Q、R、O是正五邊形中心且OP=1，則AO+AR+AQ=?

因為5*1/2*CD*OP
=5三角形OCD
=五邊形ABCDE
=三角形ABC+三角形ADE+三角形ACD
=1/2*BC*AQ+1/2*DE*AR+1/2*CD*AP
由於CD=BC=DE,
所以5OP=AQ+AR+AP
即AQ+AR+AO=AQ+AR+AP-OP=5-1=4
===
2.設f(x)=2(x^341)+5(x^7)+6x-2，則x-1除f(x)之餘式為?
x-1=0 =>x=1
所以x-1除f(x)之餘式=f(1)=2(1^342)+5(1^7)+6-2=11

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-8-26 06:14 PM 編輯 ]

aeoexe

1.已知f(x)=1-2x+(x^2)-(x^3)，且g(x+1)=f(x+2)，h(x)=g(x+2)，求h(x)+x*(g(x)除以x+1之餘數為?
g(x+1)=f(x+2)
g(x+1)=1-2(x+2)+(x+2)^2-(x+2)^3
g(x+1)=-7-10x-5x^2-x^3
Let t=x+1,then x=t-1
g(t)=7-10(t-1)-5(t-1)^2-(t-1)^3
g(t)=-1-3t-2t^2-t^3
Therefore,g(x)=-1-3x-2x^2-x^3
h(x)=g(x+2)=-1-3(x+2)-2(x+2)^2-(x+2)^3=-23-23x-8x^2-x^3
So,h(x)+x*g(x)=-23-24x-11x^2-3x^3-x^4
Therefore,h(x)+x*(g(x)除以x+1之餘數=-23-24(-1)-11(-1)^2-3(-1)^3-(-1)^4=-8

turnX

3.再同一平面上，若(OA向量)+2(OC向量=OE向量，且2(OA向量)+3(OC向量)+(OB向量=(0向量)，則四邊形AECO與四邊形AECB之面積比為?

不負責任的想法,既然題目這樣問,想必我如何拉扯向量並不會改變結果
所以我讓向量的構成如下圖

四邊形AECO面積為1+2=3
四邊形AECB之面積1+2+2+3=8

所以四邊形AECO與四邊形AECB之面積比為  3:8

Ans: 3:8

好心虛的回答

aeoexe

3.設f(x)為多項式且f(1)=2，f(-1)=3，f(0)=5，f(3)=20，則f(x^2 +2x+3)之常數項為?
解法1(不肯定版):因為常數項只關於常數,
所以不需要理會任何x項,
所以f(x^2+2x+3)=f(3)=20
解法2(肯定版):
經測試後,一次及二次方程式均不能滿足f(1)=2，f(-1)=3，f(0)=5，f(3)=20,
設f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f(0)=d=5
f(1)=a(1)^3+b(1)^2+c(1)+5=2 => a+b+c=-3
f(-1)=a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+5=> -a+b-c=-2
f(3)=a(3)^3+b(3)^2+c(3)+5=> 27a+9b+3c=15=> 9a+3b+c=5
解方程得a=13/8,b=-5/2,c=-17/8
得f(x)=13x^3/8-5x^2/2-17x/8+5
代入x=x^2+2x+3,得常數項為20

aeoexe

1.已知f(x)=1-2x+(x^2)-(x^3)，且g(x+1)=f(x+2)，h(x)=g(x+2)，求h(x)+x*(g(x)除以x+1之餘數為?
g(-2+1)=f(-2+2)=1
x*(g(-1))=x
h(-1)=g(1)=f(2)=-7
得h(x)+x*g(x)除以x+1同餘x-7除以x+1
x-7/x+1的餘數為-8,所以h(x)+x*g(x)的餘數為-8

turnX

2.ABCDE是正五邊形，從A做邊CD和CB、DE的延長線的垂線，垂足為P、Q、R、O是正五邊形中心且OP=1，則AO+AR+AQ=?

另解:(不是個好方法)

做OZ垂直AE邊於Z點 , OZ=OP=1
由三角形AOZ(90-54-36)
可得AO=1/cos36度

DC=AB=2*tan36度

由三角形ABQ(90-18-72)
可得AQ=2*tan36度*cos18度

AO+AR+AQ=AO+2AQ=1/cos36度+4*tan36度*cos18度=4  
(以上36度,18度為特殊角.三角函數可得,在此不做繁複計算.)
PS:可貼於google計算機計算