版規意見&數聊2

turnX

來問MM好了
這題能不能導出 closed form?
以下的金字塔是由許多正三角形所堆成
請問n層時有少個正三角形(除了邊長為1 還有邊長為2.....等)

這能導出closed form嗎?
我是有辦法可以算 但是導不出closed form

傲月光希

最近的人雖然有在問大學的部份，不過都是問工數啊

數學系根本不太讀工數的(囧

原文由turnX 於 07-12-14 11:51 PM 發表
來問MM好了
這題能不能導出 closed form?
以下的金字塔是由許多正三角形所堆成
請問n層時有少個正三角形(除了邊長為1 還有邊長為2.....等)

這能導出closed form嗎?
我是有辦法可以算 但是導不出closed form ...

能利用遞迴方式來求第n層正三角形個數

我將上三角跟下三角分開來算

上三角：
A(n)=A(n-1)+n+(n-1)+...+1=A(n-1)+[n(n+1)]/2,A(1)=1
A(n)=[n(n+1)]/2+[(n-1)(n-1+1)]/2+[(n-2)(n-2+1)]/2+...+1
=(1/2)*Σ(n-k+1)(n-k+2) (k=1 to n)
=(1/2)*Σ[k-(n+1)][k-(n+2)] (k=1 to n)
=(1/2)*Σ[k^2-(2n+3)k+(n+1)(n+2)]
=(1/2)[Σ(k^2)+(2n+3)Σk+Σ(n+1)(n+2)]
=(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)(2n+3)/2+n(n+1)(n+2)]
=(1/2)n(n+1)[(2n+1)/6+(2n+3)/2+(n+2)]
=(1/2)n(n+1)[(2n+1)+(6n+9)+(6n+12)]/6
=n(n+1)(14n+22)/6
=n(n+1)(7n+11)/3

下三角：
B(n)
=[1+2+...+(﹝n/1﹞-1)]+[1+2+...+(﹝n/2﹞-1)]+[1+2+..+(﹝n/3﹞-1)]+...+[1+2+...+(﹝n/n﹞-1)]
=Σ[1+2+...+(﹝n/k﹞-1)] (k=1 to n)
=Σ[1+(﹝n/k﹞-1)](﹝n/k﹞-1)/2 (k=1 to n)
=(1/2)Σ﹝n/k﹞(﹝n/k﹞-1) (k=1 to n)
（P.S. ﹝‧﹞=高斯符號）

所以第n層的正三角形個數為n(n+1)(7n+11)/3+(1/2)Σ﹝n/k﹞(﹝n/k﹞-1) (k=1 to n)

我下三角算不出封閉形式(泣

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-12-16 12:11 PM 編輯 ]

turnX

真是感謝相助
下三角我再想想好了

工數....我無用武之地

M.N.M.

暑假挑戰的33題答案已放上

中國數學家真偉大(茶

turnX

再問一個問題好了
當做閒聊...因為發出去也不知道是否有人回
就是求個巨大數值的個位有什麼方法嗎?
例如求C(20000,5000)的個位數是多少
有什麼比較好的方式?
其中牽涉到除法好像連Mod都快無用武

aeoexe

原文由turnX 於 07-12-17 10:28 PM 發表
再問一個問題好了
當做閒聊...因為發出去也不知道是否有人回
就是求個巨大數值的個位有什麼方法嗎?
例如求C(20000,5000)的個位數是多少
有什麼比較好的方式?
其中牽涉到除法好像連Mod都快無用武 ...

C(n,r)是n!/(r!*(n-r)!)嗎?

turnX

原文由aeoexe 於 07-12-19 05:57 PM 發表
C(n,r)是n!/(r!*(n-r)!)嗎?

沒錯呀!

M.N.M.

原文由turnX 於 07-12-17 10:28 PM 發表
再問一個問題好了
當做閒聊...因為發出去也不知道是否有人回
就是求個巨大數值的個位有什麼方法嗎?
例如求C(20000,5000)的個位數是多少
有什麼比較好的方式?
其中牽涉到除法好像連Mod都快無用武 ...

沒想過這樣的問題呢

既然X man想到這樣的問題

這個重責大任交給你了(拍肩

turnX

原文由M.N.M. 於 07-12-19 10:54 PM 發表
沒想過這樣的問題呢
既然X man想到這樣的問題
這個重責大任交給你了(拍肩

此乃來自於計算的需求
至於能否算出來,不得而知
但是.....你別想逃^^//

話說最近趣味數學怎麼都被挖出來

M.N.M.

原文由turnX 於 07-12-20 02:41 AM 發表


此乃來自於計算的需求
至於能否算出來,不得而知
但是.....你別想逃^^//

話說最近趣味數學怎麼都被挖出來

在下根本沒時間研究(打滾

這就是趣味(綠茶

話說來設計自創題好了