挑戰111

M.N.M.

國中
1.將所有正整數，自1開始依次寫下去，可得到如下列形式的數碼:
1 2 3 4 5 6...
試確定在206788個位置上所出現的數字是幾?

2.試求一個四位數，它是一個完全平方數，它的前兩位數字相同後兩位數字也相同

3.在凸多邊形中最多可能有幾個銳角?

高中
1.是比較300!與100^300的大小

2.設a_1，a_2，a_3，...，a_7是整數，b_1，b_2，b_3，...，b_7是它們的一個排列，證明:數(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)是偶數

3.設△ABC和△DEF內接於同一個圓。證明:它們的周長相等的充要條件是
sin∠A+sin∠B+sin∠C=sin∠D+sin∠E+sin∠F

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-9-23 11:44 PM 編輯 ]

流刃如火

原文由M.N.M. 於 07-9-23 11:28 PM 發表
國中
1.將所有正整數，自1開始依次寫下去，可得到如下列形式的數碼:
1 2 3 4 5 6...
試確定在206788個位置上所出現的數字是幾?

1~9=>9個
10~99=>90*2=180個(189
100~999=>900*3=2700個(2889
1000~9999=>9000*4=36000個(38889
10000~99999=>90000*5=450000個(488889
488889>206788
所以只到5位數
206788-38889=167889
設5n<or=167889<or=5(n+1)((n屬於N
n<or=33577+4/5<or=n+1
故n=33577...
33577*5=167885
167889-167885=4
此時正寫到：33577+10000-1=43576
故第206788個數為43577的第四個數7
ans:7
-----------------------------------------------
我用笨方法算...= =
不知道有沒有快速算法...
-------------------------------------------------

原文由M.N.M. 於 07-9-23 11:28 PM 發表
國中
2.試求一個四位數，它是一個完全平方數，它的前兩位數字相同後兩位數字也相同

設此數為aabb ((這裡是指像2244這樣寫出來的樣子,接下來我就有表成相加))
=a*1100+b*11=11(100a+b)
因為此數為完全平方數
故 11|100a+b
則100a+b可能為
209,308,407,506,605,704,803,902
209=11*19 ((不合
308=11*(2^2)*7 ((不合
407=11*37 ((不合
506=11*2*23 ((不合
605=(11^2)*5 ((不合
704=11*(2^6) ((合
803=11*73 ((不合
902=11*2*41 ((不合
故a=7,b=4
所以此數為7744=88^2

[ 本文最後由 流刃如火 於 07-9-24 12:32 AM 編輯 ]

turnX

2.試求一個四位數，它是一個完全平方數，它的前兩位數字相同後兩位數字也相同

另解
相乘要4位數那要幾位才可能?
看一位數a 9*9=81 最多也才81兩位數
看三位數100a+10b+c 其平方有一項10000a,早就超過5位數
所以此 10a+b 平方後為四位數

(10a+b)*(10a+b)=100a^2+20ab+b^2

討論b=1 或 b=9 其b^2=1 or 81
當b=1 20a有辦法讓十位數為1嗎? 不可能! 2*任何數都是偶數
若b=9 2*任何數+8都是偶數

討論b=3 或 b=7 其b^2=9 pr 49
當b=3 6*任何數都是偶數....所以後兩位不會一樣
當b=7 4*任何數+4都是偶數...又不合

討論 b=0 必不合 因為a^2不會造成前兩數字相等

討論 b=5 其 b^2=25 不合 100a+25 ->25已經不合

討論 b=4 或 b=6 其b^2=16 or 36
8*任何數+1都是奇數 故不合
同理 2*任何數+3 都是奇數故不合

討論 b=2 or b=8 其 b^2=4 or 64
當b=2 a有1 or 6 符合 但 12*12=144 62*62=3844 故都不合
當b=8 a有3 or 8 符合 38*38=1444(不合)  88*88=7744

所以答案就是 7744

‧幻星〞

2.設a_1，a_2，a_3，...，a_7是整數，b_1，b_2，b_3，...，b_7是它們的一個排列，證明:數(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)是偶數

設a_1，a_2，a_3，...，a_7中有m個奇數n個偶數
m,n奇偶必不同
所以(a_1-b_1),(a_2-b_2),...,(a_7-b_7)中必有一個為同奇或是同偶相減
所以(a_1-b_1)(a_2-b_2)...(a_7-b_7)必為偶數

‧幻星〞

3.設△ABC和△DEF內接於同一個圓。證明:它們的周長相等的充要條件是
sin∠A+sin∠B+sin∠C=sin∠D+sin∠E+sin∠F

圓心為O,半徑為r

AB+BC+AC=2r*sinA+2r*sinB+2r*sinC=2r(sinA+sinB+sinC)
DE+EF+DF=2r*sinD+2r*sinE+2r*sinF=2r(sinD+sinE+sinF)

若周長要相等
則可看出
sinA+sinB+sinC=sinD+sinE+sinF

若sinA+sinB+sinC=sinD+sinE+sinF
則AB+BC+AC=DE+DF+EF
即兩三角形周長相等

得證

appqq

3.在凸多邊形中最多可能有幾個銳角?
一個凸多邊形可以看成兩個大小不同的四邊形
一個四邊型最多有三個銳角
但是因為第二個四邊型是貼再長的那一條邊
所以小的有兩個不能算
因此一個凸多邊形(沒有任何平行的邊)會有
3+2=5個銳角

aeoexe

1.是比較300!與100^300的大小

log100^300=600

log300!=log1+log2+log3+....+log299+log300=614.485803.........>600

所以300!>100^300

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-9-27 09:14 PM 編輯 ]

aeoexe

3.在凸多邊形中最多可能有幾個銳角?

一個凸多邊形的外角和是360度,
一個銳角的外角必大於90度,
所以一個凸多邊形最多只有3個銳角,
(因為如果有四個銳角的話,外角和則大於360度..)

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-9-27 10:40 PM 編輯 ]

MAXZS

2.試求一個四位數，它是一個完全平方數，它的前兩位數字相同後兩位數字也相同

1100a + 11b = c^2
11(100a+b) = c^2
c^2/11 = 100a + b
because 100a + b = 整數,c = 11N(11,22,33,44,55,66,77,88,99)
11^2,22^2 <1000 (reject)
33^2 = 990 + 99 (reject)
44^2 = 1760 + 176 (reject)
55^2 = 3025 (reject)
66^2 = 3960 + 396 (reject)
77^2 = 5390 + 539 (reject)
88^2 = 7040 + 704
99^2 = 8910 +891 (reject)

a = 7,b = 4,c = 8

M.N.M.

解答
高中1
因為lim(n→無限)[1+(1/n)]^n=e<3

3>[1+(1/n)]^n=[(n+1)^n/(n^n)]

n=1時，3>2/1......(1)
n=2時，3>(3^2)/(2^2)......(2)
n=3時，3>(4^3)/(3^3)......(3)
.
.
.
.
n=300時，3>(301^300)/(300^300)......(300)

(1)*(2)*(3)*...*(300)
=>3^300>(301^300)/300!

300!>(301^300)/(3^300)>(300^300)/(3^300)=100^300

所以300!>100^300