有理數問題

大米龜

ab屬於R,且3a+2b+6ab=9a^2+4b^2+1,序對(a,b)=?

我的想法是把所有項都移到等號左邊然後湊2個平方,然後解聯立
但是我湊不出來.:悲傷 好笨笨

傲月光希

原文由大米龜 於 07-9-24 02:39 PM 發表
ab屬於R,且3a+2b+6ab=9a^2+4b^2+1,序對(a,b)=?

我的想法是把所有項都移到等號左邊然後湊2個平方,然後解聯立
但是我湊不出來.:悲傷 好笨笨

以a為變數，剩下的當作常數做移向得式子9a^2-(3+6b)a+(4b^2-2b+1)=0......(*)

因為a是實數，因此此以a為主的一元二次方程式必有實數解，所以判別式大於等於0
=> (3+6b)^2-4*9*(4b^2-2b+1)>=0
=> 9+36b+36b^2-(144b^2-72b+36)>=0
=> -108b^2+108b-27>=0
=> 108b^2-108b+27<=0
=> 4b^2-4b+1<=0
=> b^2-b<=-1/4
=>(b-1/2)^2<=-1/4+1/4=0
因為平方數必大於等於0，所以b=1/2

將此結果代入(*)中得9a^2-6a+1=0
=> (3a)^2+6a=-1
=> (3a+1)^2=-1+1=0
=> a=-1/3

結論是(a,b)=(-1/3,1/2)

這種題目有兩種技巧
第一，將其中一個當作是一元二次方程式的變數，其他當作是常數做整理
第二，利用判別式就可以解出被當作常數的那一個變數

[ 本文最後由 傲月光希 於 07-9-24 03:55 PM 編輯 ]