請問有沒有人知道"蝴蝶定理"?

joymike2003

如提阿...
今天同學一質問我
說他們要考試
叫我幫他問...

turnX

可參考一下以下的網址
http://www.mathland.idv.tw/fun/butterfly.html

其實我也是第一次聽過蝴蝶定理

M.N.M.

圓O的弦AB的中點M任作兩條弦CD和EF，連CF和ED交AB於P，Q，則PM=MQ

由正弦定理得知
PM/sin a=CP/sin d......(1)
QD/sin d=MQ/sin b......(2)
EQ/sin c=mq/sin a......(3)
PM/sin b=PF/sin c......(4)

(1)*(2)*(3)*(4)
=>CP*PF*(MQ^2)=EQ*QD*(PM^2)......(5)

設PM=x，MQ=y，AM=BM=a，由相交弦定理得知

CP*PF=AP*PB=(a-x)(a+x)=(a^2)-(x^2)......(6)
同理EQ*QD=(a^2)-(y^2)......(7)

(6)(7)代入(5)
=>[(a^2)-(x^2)](y^2)=[(a^2)-(y^2)](x^2)

=>(a^2)(y^2)-(x^2)(y^2)=(a^2)(x^2)-(x^2)(y^2)

=>x=y

即PM=MQ