挑戰113

M.N.M.

國中
1.設甲、乙兩人一起合作某事12日可完成，今兩人合作8日後，甲因事停止工作，而由乙獨立完成其餘工作，歷時5日，則由乙一人獨做此事須幾日才能完成?

2.a、b為有理數，若1+根號(2)為(x^3)+ax+b=0之一根，求a、b之值?

3.1/[4*(1^4)+1] + 2/[4*(2^4)+1]  + 3/[4*(3^4)+1]  +...+100/[4*(100^4)+1] =?

高中
1.設A=[a_ij]n*n，其中a_ij=2i+(j^2)，求此矩陣一切元之和

2.設S={1，2，3，...，1000}，自S中任取一數n，求使
cos (n*pi/100)>0
sin (n*pi/100)>0
成立之機率

3.如何估計"鐵傲湖"有幾條吳郭魚?

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-10-21 04:56 PM 編輯 ]

turnX

1.設A=[a_ij]n*n，其中a_ij=2i+(j^2)，求此矩陣一切元之和

看到i (1~n) 其總和為 2*[1+2+3+...+n] 而j有n個 所以和為 2*[1+2+3+...+n]*n=(n^2)*(n+1) ---(1)
看到j (1~n) 其總和為 (1^2+2^2+...+n^2) 而i有n個 所以和為 n*(1^2+2^2+...+n^2)=[(n^2)*(n+1)*(2n+1)]/6  ---(2)
所有的entry總和為(1)+(2) 得 [(n^2)*(n+1)*(2n+7)]/6

Ans:[(n^2)*(n+1)*(2n+7)]/6

2.設S={1，2，3，...，1000}，自S中任取一數n，求使
cos (n*pi/100)>0
sin (n*pi/100)>0
成立之機率

知為第一象限內有可能
因此符合者
1~49
201~249
401~449
601~649
801~849

49*5/1000=49/200

Ans:49/200

[ 本文最後由 turnX 於 07-10-17 09:40 PM 編輯 ]

turnX

3.如何估計"鐵傲湖"有幾條吳郭魚?

統計不好...胡亂答一下
先抓A條魚做記號...放回湖中
再抓B條魚,其中有記號的有C條
可大約知湖中有 (AB)/C 條魚

反正我也不知道對否Orz

aeoexe

1.設甲、乙兩人一起合作某事12日可完成，今兩人合作8日後，甲因事停止工作，而由乙獨立完成其餘工作，歷時5日，則由乙一人獨做此事須幾日才能完成?

需要12日完成的東西,合作了八天,即完成了2/3,剩下的1/3,
需要5日完成,所以乙一日完成(1/3)*(1/5)=1/15,
所以乙一人獨做需要做15日

turnX

2.a、b為有理數，若1+根號(2)為(x^3)+ax+b=0之一根，求a、b之值?

代入1+根號(2)得  (7+a+b)+(5+a)根號(2) 得a=-5 b=-2

Ans: a=-5,b=-2

1.設甲、乙兩人一起合作某事12日可完成，今兩人合作8日後，甲因事停止工作，而由乙獨立完成其餘工作，歷時5日，則由乙一人獨做此事須幾日才能完成?

設甲獨自x天完成工作,一天做1/x
設乙獨自y天完成工作,一天做1/y

設聯立方程
12(1/x+1/y)=1
8(1/x+1/y)+5(1/y)=1

解聯立得 y=15 , x=60

Ans:15天

[ 本文最後由 turnX 於 07-10-18 07:01 PM 編輯 ]

aeoexe

3.1/[4*(1^4)+1] + 2/[4*(2^4)+1]  + 3/[4*(3^4)+1]  +...+100/[4*(100^4)+1] =?

4n^4+1=4n^4+4n^2+1-4n^2
=(2n^2+1)^2-(2n)^2
=(2n^2-2n+1)(2n^2+2n+1)
所以1/[4*(1^4)+1] + 2/[4*(2^4)+1]  + 3/[4*(3^4)+1]  +...+100/[4*(100^4)+1]
=1/(1*5)+2/(5*13)+...+1/(19801*20201)
=1/4*(1-1/5)+2/8*(1/5-1/13)+...+100/400*(1/19801-1/20201)
=1/4*(1-1/5+1/5-1/13+1/13-1/25+...+1/19801-1/20201)
=1/4*(1-1/20201)
=(1/4)*(20200/20201)
=5050/20201

[ 本文最後由 aeoexe 於 07-10-22 07:53 PM 編輯 ]

albert1liu1

高中
3.
方法一:利用「捉放法」，先把幾隻吳郭魚抓來做記號(像烙印、結紮或甚麼的)，放回後，過個幾天再抓幾隻來，可得(網中有做記號的吳郭魚數):(網中總共的吳郭魚數)約等於(原本做記號的總吳郭魚數):(鐵傲湖中的總吳郭魚數)就可算出啦!!
方法二:由於魚在水下很難算，利用電擊、下毒或任何一次性解決的方式，讓牠們浮起來，就好算多了!

992255

高中
1.設A=[a_ij]n*n，其中a_ij=2i+(j^2)，求此矩陣一切元之和

假設[a_ij]n*n，n=2。

a1,a2
b1,b2

a1=2+1,a2=2+4,b1=4+1,b2=4+4，得到

3,6
5,8

全部相加等於22，可以用一個級數相加表示：n{n(1+n)+[n(n+1)(2n+1)/6]}

這裡的n為2，2*(2*3+2*3*5/6)，得到2*(6+5)=22

驗算：n=1時，1*(1*2+1*2*3/6)，1*(1+2)=3，與[a_11]=3相同

此矩陣一切元之和為n{n(1+n)+[n(n+1)(2n+1)/6]}

(別笑，看到假設題我都會用最簡單的方式演算一遍，既然是假設題就代表怎麼算結果都差不多嘛= 3=)

2.設S={1，2，3，...，1000}，自S中任取一數n，求使
cos (n*pi/100)>0
sin (n*pi/100)>0
成立之機率

若cos (n*pi/100)>0且sin (n*pi/100)>0，則n除以200的餘數必小於50，但不得為0，49*5=245，機率為24.5%。

3.如何估計"鐵傲湖"有幾條吳郭魚?

1.對鐵傲湖的體積(2MB)進行微分，2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2的微分結果為0，得証。

2.鐵傲湖離我們比較近，吳郭魚看起來比較多。

3.把歐蝦丟入鐵傲湖，傍晚撈起來的時候，甲殼上的一個「正」代表五隻吳郭魚。

4.我們無法辨識位置 鐵傲湖 建議：

    * 請確認所有城市、街道或地點名稱無錯字。
    * 請確認您的地址包含城市名稱。
    * 輸入地址時，不必同時輸入地點名稱。
    * 您是否知道這個地點並且希望別人可以找到？

5.把一隻吳郭魚丟進鐵傲湖，明年就有吃不完的吳郭魚。

6.藉由水與吳郭魚所產生的細微重力場差，使用重力子探測儀進行測量。

7.藉由水與吳郭魚本身的反射光線能力的差異，使用光壓探測儀進行測量。

8.藉由水與吳郭魚表面溫度的差異，使用紅外線探測儀進行測量。

9.本實驗適用測不准原理。

M.N.M.

假設[a_ij]n*n，n=2。

a1,a2
b1,b2

a1=2+1,a2=2+4,b1=4+1,b2=4+4，得到

3,6
5,8

全部相加等於22，可 ...
992255 發表於 10-11-7 15:41

第2題答案對

但不夠詳細

而鐵傲湖這題是統計抽樣的問題

要提出假設，再用數學方式估計