挑戰114

M.N.M.

國中
1.有一個正整數，加上100，則為一完全平方數；如果加上168，則為另一個完全平方數。求此數

2.證明:兩個連續正整數的積不會是完全平方數

3.求方程(x^2)y-7(x^2)-3y-2=0的全部正整數解x，y

高中
1.平面上有定線段AB=根號3，動點M，V滿足AM=MN=NB=1。記三角形AMB和三角形MNB的面積分別為S，T，問什麼條件下，(S^2)+(T^2)取最大值?

2.已知A=6(log p)+(log q)，其中p，q是質數，且q-p=29，求證:3<A<4

3.設3^10000的各位數字的和為A，A的各位數字和為B，B的各位數字和為C，求C

神光

原文由M.N.M. 於 07-10-22 11:07 PM 發表
高中

2.已知A=6(log p)+(log q)，其中p，q是質數，且q-p=29，求證:3<A<4

q-p=29 , 而且p,q是質數, 則p=2, q=31

代入原式,  A=6(log 2 ) + (log 31)
               = log 64 +log31
               = log 1984
               
          log10^3 < log1984 < log10^4

所以   3<A<4

appqq

1.有一個正整數，加上100，則為一完全平方數；如果加上168，則為另一個完全平方數。求此數

此題就等於有一正整數n^2是一個大於100的完全平方數。若此數加上68又會是另一個完全平方數。求此數。

假設第二個數等於(n+1)^2
(n+1)^2-n^2=68
2n+1=68
因為n無整數解
所以第二個數不等於(n+1)^2

如果第二個數等於(n+2)^2
(n+2)^2-n^2=68
4n+4=68
n=16
所以另一個完全平方數就是16^2+68=(16+2)^2=324

如果第二個數等於(n+4)^2,(n+6)^2,(n+8)^2...
8n+16=68

12n+36=68

16n+64=68

n的答案都不是整數

所以那正整數會是16^2-100=156
156+168=324
所以此數就會是324

[ 本文最後由 appqq 於 07-10-31 04:24 AM 編輯 ]

turnX

2.證明:兩個連續正整數的積不會是完全平方數

因為 x 屬於 Z+
x^2 < x(x+1) < (x+1)^2
得證

3.求方程(x^2)y-7(x^2)-3y-2=0的全部正整數解x，y

變換整理式子

x^2=(3y+2)/(y-7)  x^2為正整數或0

y-7|3y+2
y-7|y-7

y-7=1,23,-1,-23
y=8,30,6,-16 其中只有 y=30合

Ans:x=2,y=30

turnX

3.設3^10000的各位數字的和為A，A的各位數字和為B，B的各位數字和為C，求C

可知道3^10000為9的倍數
那A必為9的倍數,B也是,C也是

那3^10000有多少位? 10000*[log3]+1=4772
假設如果每一位都是9
A<=9*4772<=99999
A<=42948<=99999
B<=27<=45
C<=9<=9

那C便是為9了

不知道這樣想是否對了

turnX

1.平面上有定線段AB=根號3，動點M，V滿足AM=MN=NB=1。記三角形AMB和三角形MNB的面積分別為S，T，問什麼條件下，(S^2)+(T^2)取最大值?

試解...我自己也算得很模糊

可令M為動點 ( x , 根號(1-x^2) )
A為(0,0) B為(根號(3),0)
可得S面積為 1/2|根號(3-3x^2)|
S^2=(1/4)*(3-3x^2)
利用商高定理和等腰三角可得
T^2=(2根號(3)x-3x^2)/4  (這裡我省略步驟,太難表示)

f(S,T)=S^2+T^2=(3+2根號(3)x-6x^2)/4
f ' (S,T)=2根號(3)-12x=0
x=根號(3)/6時有S^2+T^2最大值7/8=0.875 此時BM=根號(108)/6

條件就是BM=根號(108)/6 有S^2+T^2最大值7/8=0.875

其實應該說,我不知道拿什麼當條件

極光小雷

1.有一個正整數，加上100，則為一完全平方數；如果加上168，則為另一個完全平方數。求此數

17^2=189=21+168

11^2=121=21+100

Ans: 21

M.N.M.

解答

國中1
設所求為x ,有正整數y,z使
x+100=y^2......(1)
x+168=z^2......(2)

(2)-(1)=68=(z-y)(z+y)=(2^2)*17

因為z>y,且(z-y)與(z+y)為同奇偶

所以
z-y=2
z+y=2*17=34

y=16,z=18

x=156

A:此數為156

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-11-15 10:27 PM 編輯 ]

shin205

第一題應該是常數加代數不然是無限解...因為有多種不同的答案21.156.324都正確....回樓上的因為Y.Z恆為正....所以Y是根號X+100...Z是根號X+168...解出來仍是0*X等於0...應是無限解..不然就是有條件的無限解

aeoexe

原文由shin205 於 07-12-2 02:06 AM 發表
第一題應該是常數加代數不然是無限解...因為有多種不同的答案21.156.324都正確....回樓上的因為Y.Z恆為正....所以Y是根號X+100...Z是根號X+168...解出來仍是0*X等於0...應是無限解..不然就是有條件的無限解 ...

首先我不明白你的21.156.324這個類IP的東東的意思了....
你指是21,156或324也正確吧...
題目:一個正整數加上100及168會得出兩個完全平方數,求該數...
21+100=121=11^2,但是21+168=189不是一個完全平方數,要是289就是了..
156+100=256=16^2 156+168=324=18^2
324+100=424,已經不是一個完全平方數,所以三個答案只有一個對...
Y,Z雖然是恆正,但是你也忽略了一個條件,就是他們也是正整數,
在正整數解應該只有一個,但是非整數解的話,我想有無限解了吧...

P.S.不清楚你如何得出0*X=0,可不可以給我看看...