挑戰116

M.N.M.

國中
1.自1到1000之自然中,不為2,3,4,5,6之倍數有幾個?

2.設a,b,c都是奇數,求證a(x^2)+bx+c=0必無整數解

3.證明:任意四邊形四條邊的平方和,等於兩條對角線的平方和,加上對角線中點連線的平方的四倍

高中
1.有姐妹兩人,在任一天中,姐姐在中午12點之前都講實話,而12點之後全說謊話,妹妹和她恰好相反,某人(在白天)看望她們說,

問:"哪位是姐姐?"
瘦小姐和胖小姐都回答:"是我"
再問一次:"現在幾點了?"
胖小姐說:"快到12點了"  而瘦小姐卻說:"12點早過了"

問:當時是中午12點前,還是12點後? 哪一位是姐姐?

2.設x+y+z=1,求f=2(x^2)+3(y^2)+(z^2)的最小值

3.設a,b,c,d都是正數,證明:存在一個三角形,其三邊之長分別為
根號[(b^2)+(c^2)] , 根號[(a^2)+(c^2)+(d^2)+2cd] , 根號[(a^2)+(b^2)+(d^2)+2ab]
並求出這三角形面積

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-12-13 01:55 PM 編輯 ]

turnX

2.設x+y+z=1,求f=2(x^2)+3(y^2)+(z^2)的最小值

f(x,y,z)=2(x^2)+3(y^2)+(z^2)
g(x,y,z)=x+y+z-1

使用 Lagrange Multiplier Method
fx=Lgx => 4x=L
fy=Lgy => 6y=L
fz=Lgz => 2z=L
x=L/4 , y=L/6 , z=L/2
L/4+L/6+L/2=1
L=12/11

當x=3/11,y=2/11,z=6/11時有 min(f)=6/11

Ans:6/11

國中
1.自1到1000之自然中,不為2,3,4,5,6之倍數有幾個?

不為2,3,4,5,6之倍數=>不為2,3,5之倍數
M=[1000/2]+[1000/3]+[1000/5]-[1000/6]-[1000/10]-[1000/15]+[1000/30]=734
M'=1000-734=266

Ans:266個

[ 本文最後由 turnX 於 07-11-14 09:52 PM 編輯 ]

turnX

2.設a,b,c都是奇數,求證a(x^2)+bx+c=0必無整數解

x=(-b+sqrt(b*b-4ac))/2a or (-b-sqrt(b*b-4ac))/2a
因為b is odd
b*b is odd
4ac is even
b*b-4ac is odd
sqrt(b*b-4ac) is odd
x is even

最後知道兩根要必為偶數
兩根乘積為偶數----(1)

又 a,c is odd  
c/a is odd---(2)

由(1)(2)知矛盾,所以無整數解

aeoexe

1.有姐妹兩人,在任一天中,姐姐在中午12點之前都講實話,而12點之後全說謊話,妹妹和她恰好相反,某人(在白天)看望她們說,

問:"哪位是姐姐?"
瘦小姐和胖小姐都回答:"是我"
再問一次:"現在幾點了?"
胖小姐說:"快到12點了"  而瘦小姐卻說:"12點早過了"

如果時間是十二點後的話,
姐姐全部是謊話,在第一個問題一定回答不是我,
而妹妹是全部實話,然後也在第一題問題回答不是我
但是她們也說是我,所以時間為十二點前,而姐姐說真話,妹妹說謊...
現在胖小姐說是快到12點(即12點前),而瘦小姐說是過了十二點,
所以胖小姐是姐姐,而瘦小姐是妹妹..

流刃如火

原文由M.N.M. 於 07-11-14 08:43 PM 發表
高中
2.設x+y+z=1,求f=2(x^2)+3(y^2)+(z^2)的最小值

令a_1=sqrt(2)x, a_2=sqrt(3)y, a_3=z, b_1=1/(sqrt(2)), b_2=1/(sqrt(3)), b_3=1
由柯西不等式得:
(x+y+z)^2≤[2(x^2)+3(y^2)+(z^2)][(1/2)+(1/3)+1]
=>(6/11)≤2(x^2)+3(y^2)+(z^2)
等號成立的充要條件為:
sqrt(2)x:1/(sqrt(2))=sqrt(3)y:1/(sqrt(3))=z:1=k
x=k/2  y=k/3  z=k
(11/6)k=1
k=6/11
既當 x=(1/2)*(6/11)=3/11
y=(1/3)*(6/11)=2/11
z=6/11 時,
f=2(x^2)+3(y^2)+(z^2)有最小值:6/11

‧幻星〞

3.證明:任意四邊形四條邊的平方和,等於兩條對角線的平方和,加上對角線中點連線的平方的四倍

四邊形ABCD
對角線AC中點M
對角線BD中點N
AB^2+BC^2+CD^2+AD^2
=2(BN^2+AN^2)+2(BN^2+CN^2)
=BD^2+2*2(AM^2+MN^2)
=AC^2+BD^2+4MN^2
得證

turnX

3.證明:任意四邊形四條邊的平方和,等於兩條對角線的平方和,加上對角線中點連線的平方的四倍

座標方式
令A(0,0) B(b,c) C(d,e) D(a,0) M(d/2,e/2) N( (a+b)/2 , c/2)

AB^2+CD^2+BC^2+AD^2=b^2+c^2+(b-d)^2+(c-e)^2+(d-a)^2+e^2+a^2

BD^2+AC^2=(b-a)^2+c^2+d^2+e^2
4MN^2=a^2+b^2+d^2+2ab-2ad-2bd+e^2-2ec+c^2

BD^2+AC^2+4MN^2=b^2+c^2+(b-d)^2+(c-e)^2+(d-a)^2+e^2+a^2

AB^2+CD^2+BC^2+AD^2=BD^2+AC^2+4MN^2
得證

神光

原文由aeoexe 於 07-11-15 05:50 PM 發表
如果時間是十二點後的話,
姐姐全部是謊話,在第一個問題一定回答不是我,
而妹妹是全部實話,然後也在第一題問題回答不是我
但是她們也說是我,所以時間為十二點前,而姐姐說真話,妹妹說謊...
現在胖小姐說是快到12點(即12點前),而瘦小姐說是過了十二點,
所以胖小姐是姐姐,而瘦小姐是妹妹..  

證明不夠嚴謹.
證明的前部份是沒錯的,
但後面忽略了  第二次發問的時間.

雖然第一次發問是在12點前,
但這不表示第二次發問也在12點前呢.
若某人在11時xx分發問第一題, 第二題發問豈不會在12點後?

所以, 這題, 證明的後部份要分開兩個cases討論 =_=

case1: 第二發問在12點前,
這部份大大己證明.

case2: 第二發問在12點後,
姐姐說慌,  妹妹說真話,
胖小姐說快到12點, 這是假話
所以胖小姐是姐姐, 瘦小姐是妹妹

結論: 胖小姐是姐姐, 瘦小姐是妹妹

M.N.M.

[解答]
高中3

如圖，以a+b、c+d為邊作矩形ABCD，分別在AB、AD邊上取E點、F點，使得AE=b，EB=a，AF=c，FD=d

連接EF、FC、EC

則EF=根號[(b^2)+(c^2)] ，EC=根號[(a^2)+(c^2)+(d^2)+2cd]，FC=根號[(a^2)+(b^2)+(d^2)+2ab]

所以三角形ECF面積即為所求

三角形ECF面積=矩形ABCD-三角形AEF-三角形EBC-三角形FDC

=(a+b)(c+d) - (1/2)bc - (1/2)a(c+d) -(1/2)(a+b)d

=ac+ad+bc+bd-(1/2)bc-(1/2)(ac+ad)-(1/2)(ad+bd)

=(1/2)(ac+bc+bd)