挑戰117

M.N.M.

國中
1.80個金幣中一個是假的(較輕)。怎樣用一個沒有砝碼的兩個盤子的天平，秤四次找出這個假幣?

2.作與平面上四個定點等距離的圓。問有幾個解?

3.兩列火車在兩條平行的鐵軌上相向而行，一列速度為60公里/小時，另一列速度為80公里/小時。坐在第二列火車中的旅客注意到第一列火車在6秒時間內在他面前通過。第一列火車有多長?

高中
1.化簡表達式
A_n=(cos a)*(cos 2a)*...*(cos a*2^(n-1))

2.已知 tan a 與tan b是方程式(x^2)+px+q=0的根。求[sin(a+b)]^2  +p*sin(a+b)

3.若a,b,c為一三角形的三條邊,則方程式
(bx)^2 +[(b^2)+(c^2)-(a^2)]x +(c^2)=0的根是複共軛的。試證之

蓮花蝶

1、因爲3^4=81，所以每次分組都分成三等分（其中一組少一個）是可以稱出來的
2、四點共圓時有唯一解，否則無解
3、(60+80)*6/3600，不想算了- -

1、A_n=(sin a)*(cos a)*(cos 2a)*...*(cos a*2^(n-1))/(sin a)
          =(sin 2a)*(cos 2a)*...*(cos a*2^(n-1))/(2sin a)
          =...
          =(sin a*2^n)/[2^(n-1)*(sin a)]

2、暫時沒想出來
3、Δ=[(b^2)+(c^2)-(a^2)]^2-4*(b^2)*(c^2)
      =(a^4)+(b^4)+(c^4)-2(a^2)(b^2)-2(b^2)(c^2)-2(c^2)(a^2)
      ={[(a^2)-(b^2)]^2}-(c^4)+{[(b^2)-(c^2)]^2}-(a^4)+{[(c^2)-(a^2)]^2}-(b^4)
      =[(a^2)-(b^2)+(c^2)][(a^2)-(b^2)-(c^2)]+[(b^2)-(c^2)+(a^2)][(b^2)-(c^2)-(a^2)]+[(c^2)-(a^2)+(b^2)][(c^2)-(a^2)-(b^2)]
      =[2ac*(cos B)][-2bc*(cos A)]+[2ab*(cos C)][-2ac*(cos B)]+[2bc*(cos A)][-2ab*(cos C)]
      =-4abc[c(cos A)(cos B)+a(cos B)(cos C)+b(cos A)(cos C)]
      =
    Δ=4abc[a*(cos A)+b*(cos B)+c*(cos C)]
      =4abc{[c*(sin A)*(cos A)/(sin C)]+[c*(sin B)*(cos B)/(sin C)]+c*(cos C)}
      =4ab(c^2){[(sin 2A)+(sin 2B)]/[2*(sin C)]+(cos C)}
      =4ab(c^2){[sin (A+B)][cos (A-B)]/(sin C)+(cos C)}
      =4ab(c^2){[cos (A-B)]+(cos C)}
      =4ab(c^2)*2*{cos [(A-B+C)/2]}*{cos [(A-B-C)/2]}
      =8ab(c^2)*{cos [(π-2B)/2]}*{cos [2A-π]/2}
      =8ab(c^2)*(sin B)*(sin A)>0???
     所以方程有共軛複數根
最後一個好像不太對，先留著吧

[ 本文最後由 蓮花蝶 於 07-12-14 05:23 PM 編輯 ]

MAXZS

2.已知 tan a 與tan b是方程式(x^2)+px+q=0的根。求[sin(a+b)]^2  +p*sin(a+b)

-p = tan a + tan b
q= [tan a]*[tan b]

-p = sina/cosa + sinb/cosb
    = [(sina)*(cosb) + (sinb)*(cosa)]/(cosa)*(cosb)
    = [sin(a+b)]/(cosa)*(cosb)

1-q = 1- [tan a]*[tan b]
      = 1- [sina/cosa]*[sinb/cosb]
      = 1- [(sina)*(sinb)]/(cosa)*(cosb)
      = [(cosa)*(cosb) - (sina)*(sinb)]/(cosa)*(cosb)
      = [cos(a+b)]/(cosa)*(cosb)

(-p)/(1-q) = p/(q-1) = tan(a+b)

sin(a+b) = p/[p^2 + (q-1)^2]^(1/2)

[sin(a+b)]^2  +p*sin(a+b) = p^2/[p^2 + (q-1)^2] + p^2/[p^2 + (q-1)^2]^(1/2)

turnX

1.化簡表達式
A_n=(cos a)*(cos 2a)*...*(cos a*2^(n-1))

(sin a)A_n=(sin a)(cos a)*(cos 2a)*...*(cos a*2^(n-1))
(sin a)A_n=(1/2)(sin 2a)*(cos 2a)*...*(cos a*2^(n-1))
.......
.......
(sin a)A_n=(1/(2^n))*(sin a*2^n)


A_n=(sin a*2^n)/[(sin a)*(2^n)]

國中
1.80個金幣中一個是假的(較輕)。怎樣用一個沒有砝碼的兩個盤子的天平，秤四次找出這個假幣?

把80個金幣分成 (26,27,27)

比較(27,27) 如果一樣 假硬幣在(26)那堆  [1]  
把26個金幣分成(8,9,9)

比較(9,9)如果一樣 假硬幣在8那堆 [2]

把26個金幣分成(2,3,3)

比較(3,3)如果一樣  假硬幣在2那堆 [3]

比較最後2個硬幣,較輕那一個就是 [4,剛好4次]

回到(3,3)如果有一堆較輕就剩3個硬幣
分成(1,1,1)
比較(1,1) 如果一樣 就在另一枚 [4]
如果不一樣 就在較輕那枚 [4]

回到(9,9)如果不一樣
把金幣分成(3,3,3) 這情況和(2,3,3)一樣 不討論 一樣可以分出

回到(27,27)如果不一樣
把金幣分成(9,9,9) 這情況又回到(9,9) 不討論 一樣可以分出

於是知道四次內可以分辨出假幣

[ 本文最後由 turnX 於 07-12-4 08:58 PM 編輯 ]

turnX

3.若a,b,c為一三角形的三條邊,則方程式
(bx)^2 +[(b^2)+(c^2)-(a^2)]x +(c^2)=0的根是複共軛的。試證之

delta=[(b^2)+(c^2)-(a^2)]^2-4*(b^2)*(c^2)
delta=[(b^2)+(c^2)-(a^2)]^2-(2bc)^2
delta=[(b^2)+2bc+(c^2)-(a^2)]*[(b^2)-2bc+(c^2)-(a^2)]
delta=[(b+c)^2-a^2]*[(b-c)^2-a^2]
delta= (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)
由於a,b,c為三角形三邊
b-c-a<0
b-c+a>0
b+c-a>0
a+b+c>0
四項乘積為<0 即delta<0
因此得證有複共軛

3.兩列火車在兩條平行的鐵軌上相向而行，一列速度為60公里/小時，另一列速度為80公里/小時。坐在第二列火車中的旅客注意到第一列火車在6秒時間內在他面前通過。第一列火車有多長?

60公里/小時=600/36 (m/s)
80公里/小時=800/36 (m/s)
x/(600/36+800/36)=6
x=1400/6=700/3

ans:700/3 (m)

[ 本文最後由 turnX 於 07-12-5 10:36 PM 編輯 ]

turnX

2.作與平面上四個定點等距離的圓。問有幾個解?

好吧!既然要討論就準備被電吧XD
要做與四定點等距離的圓
換言之 圓既然和點等距 在圓放大或縮小的情況下 會通過四點

所以若要問幾解
情況會有一種是無解 因為四點並不一定會共圓
我們都知道要保持與兩點等距要做兩點連線之中垂線

因此我們對於此4點分別分組做中垂線
如果發現中垂線不會交於一點的話 就不可能會畫出一圓到四定點等距

換言之若可以交於一點的話就可以畫出
而且根據同心圓可畫出多個解

所以無解和無限多解都有可能

PS:完了...不知道在說啥....