挑戰120

M.N.M.

國中
1.直角三角形ABC中，角C為直角且斜邊為35cm，如果邊長為12cm的正方形CEDF內接於三角形ABC。求三角形最小邊的長度

2.若 根號6 的整數部分是a，小數部分是b，已知m為自然數且ma+(5/b)的整數部分為2007，請問m值為何?

高中
1.n為正整數，求(1^5)+(2^5)+...+(n^5)=?(要打出公式如何來的才給對)

2.描述是否存在正整數n，使得1+2+3+...+n之和的個、十、百、千位是8888

蓮花蝶

斑竹你饒了我吧orz

aeoexe

2.若 根號6 的整數部分是a，小數部分是b，已知m為自然數且ma+(5/b)的整數部分為2007，請問m值為何?
2.4^2<6<2.5^2,所以sqrt(6)整數部分是2,小數部分是sqrt(6)-2
所以a=2,b=sqrt(6)-2
2m+{5/[sqrt(6)-2]}=2007+x(0<x<1)
2m+5[sqrt(6)+2]/(6-4)=2007+x
2m+5+sqrt(6)*2.5=2007+x
因為2.4<sqrt(6)<2.5,所以2.5sqrt(6)整數部分等於2.5*2.4=6
所以2m+5+6+x=2007+x
2m=1996
m=998

[ 本文最後由 aeoexe 於 08-3-30 08:42 PM 編輯 ]

M.N.M.

國中1
參考圖

設兩股長為a，b
則a^2 +b^2 =35^2=1225

a/b=(a-12)/12
=>12(a+b)=ab......(*)

(a+b)^2=(a^2)+2ab+(b^2)=1225+24(a+b)
(a+b)^2 -24(a+b)-1225=0
=>a+b=49 or -25(-25不合)

b=49-a代入(*)
12*49=a(49-a)
a^2 -49a +588=0
a=21 or 28 則b=28 or 21

所以最小邊長21cm

高中
2.
設1+2+3+...+n=n(n+1)/2的最後4位是8888
n(n+1)/2=k*(10^4)+8888(k為正整數)
(n^2)+n=2k*(10^4)+17776
n=-1±√[1+4(2A*1064+17776)]/2

因為n為正整數
所以1+4(2A*1064+17776)=8A*(10^4)+71105是完全平方數
但71105含有質因數5不含有5^2
所以8A*(10^4)+71105必不為完全平方數
所以不存在n使得1+2+3+...+n之和的個、十、百、千位是8888

[ 本文最後由 M.N.M. 於 08-4-3 10:44 PM 編輯 ]