挑戰121

M.N.M.

國中
1.若a+1=b+2=c+3=d+4=a+b+c+d+5，則a+b+c+d=?

2.由1，2，3，4，5，6，7，9這八個數字組成4個二位數的質數，且每個數字恰只能用一次。試求4個質數之和

3.在梯形ABCD中，AB垂直AD，CD垂直AD，且AB+CD=BC，AB<CD，AD=7，則AB*CD=?

高中
1.試求最小質數p使得(p^3)+2(p^2)+p恰有42個正因數

2.考慮21，31，41，51，61，71，81等七數，將其重新排成一列，使任意連續4數的和為3的倍數，則排法有幾種?

3.設f(x)=(x-1)[(x-2)^2][(x-3)^3]...[(x-1999)^1999][(x-2000)^2000]，試求│f(x)│=1之解x的個數

cfc21

國中第1題
前四個加起來=最後一個加四次，即
a+1+b+2+c+3+d+4=(a+b+c+d+5)*4
整理得(a+b+c+d)+10=4(a+b+c+d)+20
移項得3(a+b+c+d)=-10
故(a+b+c+d)=-10/3

傲月光希

1.試求最小質數p使得(p^3)+2(p^2)+p恰有42個正因數

(p^3)+2(p^2)+p=p(p+1)^2，要將此數質因數分解
已知此數至少有質因數p了，而p+1不可能會拆成有p質因數
42/(1+1)=21=(2+1)(6+1)，所以p+1只能有兩質因數且指數分別為1跟3 (平方後才會2跟6)
假設p+1=q*(r^3)，q、r為不同於p的相異質數，則當q=3且r=2時有最小p=23
原來的數等於{[(2^3)*3]^2}*23=(2^6)*(3^2)*23

大米龜

高中
2.考慮21，31，41，51，61，71，81等七數，將其重新排成一列，使任意連續4數的和為3的倍數，則排法有幾種?
可以各數除以3的餘數做討論
21/3.........餘0
31/3.........1
41/3.........-1
51/3.........0
61/3.........1
71/3.........-1
81/3.........0
得到0,1,-1,0,1,-1,0    因為只有兩個1和-1所以絕不可能四數加起來為+ -3
所以四數加起來必須為0 又每四數必有2個0 故排出
1,0,-1,0,1,0,-1----------->有24種組合    1(2種排列)  -1(2種)  0(3*2*1種排列)  2*2*3*2*1=24
-1,0,1,0-1,0,1----------->亦有24種組合
總共48種

cfc21

第2題
個位數字一定是1,3,7,9，十位數字一定是2,4,5,6，故4個數的和=1+3+7+9+20+40+50+60=190
第3題
設AB=x,CD=x+y,BC=2x+y (畫個圖即知為何這樣假設，我就不多說明了)
(2x+y)^2=y^2+7^2  →  4x^2+4xy+y^2=y^2+49  →  4x(x+y)=49  →  x(x+y)=49/4
即AB*CD=49/4

[ 本文最後由 cfc21 於 08-5-6 02:41 PM 編輯 ]

turnX

2.考慮21，31，41，51，61，71，81等七數，將其重新排成一列，使任意連續4
數的和為3的倍數，則排法有幾種?
可以各數除以3的餘數做討論
21/3.........餘0
31/3.........1
41/3.........-1
51/3.........0
61/3.........1
71/3.........-1
81/3.........0
此法乃源自大米龜做法
開始討論連續4數之可能性
0000
11-1-1
1-11-1
-111-1
1-1-11
-11-11
-1-111
以上這些都超過數目不可能找到解
後12個如下
1-100 1 -1 0  possible
10-10 1  0 -1 possible
01-10 0  1 -1 possible
100-1 1  0  0 impossible
010-1 0  1  0 impossible
001-1 0  0    impossible
-1100 -1 1 0 possible
-1010 -1 0 1 possible
0-110  0 -1 1 possible
-1001 -1 0 0 impossible
0-101 0 -1 0 impossible
00-11 0  0 impossible
共有6組
6*24=144
Ans:144個

喫小草

國中
3.在梯形ABCD中，AB垂直AD，CD垂直AD，且AB+CD=BC，AB<CD，AD=7，則AB*CD=?

let AB=x CD=y B點作垂線與CD交E點 CE=y-x BE=AD=7
則 BC=AB+CD=x+y
依商高定理
( x+y )^2 = ( y-x )^2 + 7^2
x^2+2xy+y^2 = x^2-2xy+y^2+49
2xy = -2xy+49
4xy=49
xy=49/4
AB*CD=x*y=xy=49/4

-----------------------------------
剛剛才發現原來這題已經有人回過了...
還以為沒人回過
不是第一個解答
聲望拿的有點心虛

[ 本文最後由 喫小草 於 08-5-18 11:47 PM 編輯 ]

M.N.M.

高中
2.
七數除以3之餘數分別為0，1，2，0，1，2，0

設排法為a_1  a_2  a_3  a_4  a_5  a_6  a_7
a_ 1+ a_2 + a_3 + a_4  ≡  a_2 + a_3 + a_4 + a_5  ≡  a_3 + a_4 + a_5 + a_6  ≡  a_4 + a_5 + a_6 + a_1 + a_7  ≡ 0
(mod 3)

所以a_1  ≡  a_5 ，a_2  ≡  a_6，a_3  ≡  a_7，a_4  ≡  0 (mod 3)

依序排a_4 ，a_1，a_5，a_2，a_6，a_3，a_7

3*(3*2)*(2*2)*(1*2) =144

高中3
│f(1.5)│>1，顯然1至2間有2個實數解使│f(x)│=1，其餘以此類推

1至2000中有2*1999=3998

(0，1)與x>2000

均有一組實數解使│f(x)=1│

3998+2=4000

夢想之月

關於高中3
為什麼    │f(1.5)│>1，顯然1至2間有2個實數解使│f(x)│=1
上面寫著顯然
可是我想不出為什麼
我只能用中間直定理看出至少2個實數而看不出恰2個
可以請教一下嗎?

M.N.M.

原帖由 夢想之月 於 08-5-26 00:49 發表
關於高中3
為什麼    │f(1.5)│>1，顯然1至2間有2個實數解使│f(x)│=1
上面寫著顯然
可是我想不出為什麼
我只能用中間直定理看出至少2個實數而看不出恰2個
可以請教一下嗎? ...

其實恰有兩個是用微分法畫出來的



用洛爾定理可以解釋的

f'(x)=f(x){[1/(x-1)]+[2/(x-2)]+...+[2000/(x-2000)]}

由洛爾定理及f'(x)=0得到對任一區間[n，n+1](其中n=1，2，...，1999)

│f(x)│=1均恰有2組解

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 08-5-26 11:26 編輯 ]