挑戰122

M.N.M.

國中
1.有規律的數列 (2^2)-2 ，(3^2)-3，...，(100^2)-100，試問在這99項之中有幾項是 7 的倍數?

2.正三角形ABC的邊長是2，D點在AC上且異於A和C兩點，F點在BC上且異於B和C兩點，E點在AB上且異於A和B兩點。若DE垂直AC且DE垂直EF，則四邊形CDEF面積的最大值為何?


3.西元1999年之數字和為28，設Y為下一次數字和仍為28之年份，試求Y值


高中
1.試比較下列五個數之大小:1000!， 400!400!200!， 500!500!， 600!300!100!， 700!300!


2.設x，y，z，w>=0，試計算滿足下列方程組之x的最小值:
y=x- 2001
z=2y- 2001
w=3z- 2001


3.若n!的末七位數為8000000，試求n的值



[ 本文章最後由 M.N.M. 於 08-5-26 12:18 編輯 ]

turnX

先解一題

國中
1.有規律的數列 (2^2)-2 ，(3^2)-3，...，(100^2)-100，試問在這99項之中有幾項是 7 的倍數?
x^2-x=x(x-1)
所以 x | 7m or x | 7m+1
100/7=14
14*2=28

Ans:28



2.設x，y，z，w>=0，試計算滿足下列方程組之x的最小值:
y=x- 2001
z=2y- 2001=2*(x-2001)-2001=2x-4002-2001=2x-6003
w=3z- 2001=3(2x-6003)-2001=6x-20010
w=6x-20010>=0
6x>=20010
x>=3335

Ans:3335

3.西元1999年之數字和為28，設Y為下一次數字和仍為28之年份，試求Y值
Y值為2899
因為9*3=27 Y>1999千位數必為2
28-2=26
所以百十個之和為26而最低組合方式為899
2899

Ans:2899


3.若n!的末七位數為8000000，試求n的值
可知有6個0所以範圍在25!~29!之間

25/5+5/5=6

25!有
質因數2有 22個
質因數3有10個
質因數5有6個
質因數7有3個
質因數11有1個
質因數13有1個
質因數17有1個
質因數23有1個
所以乘上去尾數為4

26!尾數也為4
27!尾數為8
28!尾數為4
29!尾數為6

Ans:n=27

[ 本文章最後由 turnX 於 08-5-28 01:31 編輯 ]

喫小草

國中
1.有規律的數列 (2^2)-2 ，(3^2)-3，...，(100^2)-100，試問在這99項之中有幾項是 7 的倍數?
(x^x)-x=x*(x-1)
即原題可改為
1*2 ，2*3，3*4，4*5，5*6，6*7，7*8，...，97*98，98*99，99*100
上式中除了1和100 其餘數字階出現過2次
而1~100中7的倍數有[100/7]=14個
也就是上式中裡面出現過14*2*28個7的倍數
所以有28項是7的倍數

2.正三角形ABC的邊長是2，D點AC上且異於A和C兩點。若DE垂直AC且DE垂直EF，則四邊形CDEF面積的最大值為何?
let EF=x => CD=1+x/2
DE=正三角BAC以AC為底的高-正三角BEF以EF為底的高=√3 - (√3)x/2 = √3(1-x/2)
梯形面積CDEF=(EF+DC)*DE/2=(x+1+x/2)*√3(1-x/2)/2
=> √3( 1+x-(3x^2)/4 )/2 = [(-3√3)/8](x^2-4x/3-4/3) = [(-3√3)/8](x^2-4x/3+4/9-16/9)
= [(-3√3)/8](x^2-4x/3+4/9)+(2√3)/3 =  [(-3√3)/8](x-2/3)^2+(2√3)/3
所以當x=2/3時有max=(2√3)/3

3.西元1999年之數字和為28，設Y為下一次數字和仍為28之年份，試求Y值
1999年後一年為2000即千位數+1
又要求下一次和為28之年份
所以在 百 or 十 or 個 位其中一個減去1來補足千位所需的1
因為要求最近一次
所以
百位-1的2899 < 十位-1的2989 < 個位-1的2998
即下一次和為28之年份為2899

[ 本文章最後由 喫小草 於 08-5-26 18:05 編輯 ]

喫小草

高中
1.試比較下列五個數之大小:1000!， 400!400!200!， 500!500!， 600!300!100!， 700!300!
先拿1000!與700!300!比較
兩邊同除以700!得 左邊為1000*999*...*701 右邊為300*299*...*1 明顯左邊大
即1000!>700!300!
再拿700!300!與500!500!做比較
兩邊同除以500!300!得 左邊為700*699*...*501 右邊為500*499*...*301 明顯左邊大
即700!300!>500!500!
再拿600!300!100!與400!400!200!做比較
兩邊同除以400!300!100!得 左邊為600*599*...*401 右邊為400*399*...*301 * 200*199*...*101
明顯左邊大
即600!300!100!>400!400!200!
再拿500!500!與600!300!100!做比較
兩邊同除以500!300!得 左邊為500*499*...*301 右邊為 600*599*...*501 * 100*99*...*1
左邊為500*499*...*401  *  400*399*...*301 看成 (500*400)*(499*399)*...*(401*301)
右邊為600*599*...*501  *  100*99*...*1 看成 (600*100)*(599*99)*...*(501*1)
比各項數內之值得左邊大
即500!500!>600!300!100!
所以
1000! > 700!300! > 500!500! > 600!300!100! > 400!400!200!

2.設x，y，z，w>=0，試計算滿足下列方程組之x的最小值:
y=x- 2001
z=2y- 2001
w=3z- 2001
因為w>=0
所以取w=0代入得
0=3z-2001 => 3z=2001 => z=667代入得
667=2y-2001 => 2y=2668 => y=1334代入得
1334=x-2001 => x=3335
即x最小為3335

[ 本文章最後由 喫小草 於 08-5-26 18:56 編輯 ]