數學甲試題求解

☆~星之夜~☆

以下題目請幫我列出算式，謝謝<(_ _)>

【已解決】
1.某國高速鐵路共有20站，為了提高行車效率，可選擇其中8站不停靠，但第一站和最後一站必須停靠，且相鄰兩站不能同時不停靠，則不同的停靠方法共有幾種?Ans:165種

【已解決】
2.有一等差數列1，4，7，‧‧‧697，700，則將所有數相乘後所得之數其末尾會有幾個零?Ans:60個

3.已知甲的速度比乙快，兩人同時從圓形跑道上同一點出發，沿順時方向跑步。過一段時間，甲第一次從背後追上乙，此時甲立即轉身，以原來的速度沿逆時針方向跑，當兩人第二次相遇時，乙洽好跑了3圈，求甲的速度是乙的幾倍?Ans:(1±√10) / 3

4.從1，2，3，4，7，9六數中任取兩個不同的數，分別作為一個對數的底數和真數，則共有幾種不同的對數值?Ans:17種(請不要用一個一個列出來的方式)

[ 本文章最後由 ☆~星之夜~☆ 於 08-6-14 18:05 編輯 ]

傲月光希

原帖由 ☆~星之夜~☆ 於 08-6-9 18:17 發表
以下題目請幫我列出算式，謝謝

1.某國高速鐵路共有20站，為了提高行車效率，可選擇其中8站不停靠，但第一站和最後一站必須停靠，且相鄰兩站不能同時不停靠，則不同的停靠方法共有幾種?Ans:165種

如圖所示，我打勾的地方就是先將20-8=12的要停靠的站先排好了
圈圈的地方是我要來放不停靠的站，一個圈圈最多只能放一個，這樣就可以滿足題目要的條件
這屬於相同物放不同箱->相異物組合
所以答案為C(11,8)=165

M.N.M.

2.
設數列通式為3k+1

由於2的倍數必比5的倍數多

只要找出有多少個因數5就好

令k=5a+3
則3(5a+3)+1=15a+10=5(3a+2)....設k=5a+3是要湊出5的倍數

0<=5(3a+2)<=700
0<=a<=46
a值共有47個

設a=5m+1
5[3(5m+1)+2]=25(3m+1)

0<=25(3m+1)<=700
0<=m<=9
m值共有10個

設m=5n+1
25[3(5n+1)+1]=125(3n+1)

0<=125(3n+1)<=700
0<=n<=1.26...
n值共有2個

設n=5p+1
125[3(5p+1)+1]=625(3p+1)
0<=625(3p+1)<=0.04
p值共有1個

47+10+2+1=60

4.
首先全排列有5*5=25(先排底數，後排真數)

log24與log39相同，log42與log93相同，log94與log32相同，log23與log49相同，
真數為1的皆相同

25-1-1-1-1-4=17

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 08-6-12 07:10 編輯 ]

cfc21

第三組的第一個要改成以9為底，您打錯字了，提醒更正:)

☆~星之夜~☆

原帖由 M.N.M. 於 08-6-11 22:47 發表
2.
設數列通式為3k+1

由於2的倍數必比5的倍數多

只要找出有多少個因數5就好

令k=5a+3
則3(5a+3)+1=15a+10=5(3a+2)....設k=5a+3是要湊出5的倍數

0

那個......設k=5a+3是要湊出5的倍數，後面為什麼要加3呢?

M.N.M.

原帖由 ☆~星之夜~☆ 於 08-6-12 12:38 發表

那個......設k=5a+3是要湊出5的倍數，後面為什麼要加3呢?

若k=5a
3(5a)+1=15a+1.....常數項無法提出5

若k=5a+1
3(5a+1)=15a+3......常數項無法提出5

若k=5a+2
3(5a+2)+1=15a+7.......常數項無法提出5

若k=5a+3
3(5a+3)+1=15a+10=5(3a+2).......常數項可提出5

☆~星之夜~☆

原帖由 M.N.M. 於 08-6-12 17:23 發表
0<=5(3a+2)<=700
0<=a<=46
a值共有47個

求出a值的範圍，這代表的是什麼意思呢?

為什麼下面又要一次一次的假設未知數然後去求範圍呢?

雖然看著解題過程可以得出答案

但是卻不了解為什麼要如此假設??

M.N.M.

原帖由 ☆~星之夜~☆ 於 08-6-12 20:34 發表

求出a值的範圍，這代表的是什麼意思呢?

為什麼下面又要一次一次的假設未知數然後去求範圍呢?

雖然看著解題過程可以得出答案

但是卻不了解為什麼要如此假設?? ...

a只是個整數，用來幫助找出所有符合題意的數在第幾項(其餘的假設也是如此

第一次的假設是找5的倍數，但是不是每一個數只有一個因數5

所以第二次是找25的倍數，以此類推...


假如是問1*2*3*...*700末尾有多少零
設數列通式為k

令k=5a
0<5a<=700......(這邊要注意a=0得話,k=0)
0<a<=140
a值共有140個

設a=5m
5[5m]=25m

0<25m<=700
0<m<=28
m值共有28個

設m=5n
25(5n)=125n

0<125n<=700
0<n<=5.6
n值共有5個

設n=5p

125(5p)=625p
0<625p<=1.12
p值共有1個

140+28+5+1=174

這樣的解法延伸出速解
[700/5]+[700/25]+[700/125]+[700/625]=140+28+5+1=174
[ ]為高斯符號