2008暑假挑戰

夢想之月

2^#

發表於 08-7-18 20:58:44 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

2,設a>=4
則1/a<=1/4,1/b<=1/5,1/c<=1/6,1/d<=1/7
推得1/a+1/b+1/c+1/d<1
則1/a+1/b+1/c+1/d必不可能為1
故a=3或2或1
a=1時顯然1/a+1/b+1/c+1/d>1
a=2時
   1/b+1/c+1/d=1/2
   設b>=6
   則1/b<=1/6,1/c<=1/7,1/d<=1/8
   推得1/b+1/c+1/d<1/2
   則1/b+1/c+1/d必不可能為1/2
   又b>a=2
   故此時b只能為3或4或5
   b=3時
            1/c+1/d=1/6
            左右同乘6cd
            得到6c+6d=cd
            推得(c-6)(d-6)=36
            易知此時c,d的解有(7,42)(8,24)(9,18)(10,15)
   b=4時
            1/c+1/d=1/4
            左右同乘4cd
            得到4c+4d=cd
            推得(c-4)(d-4)=16
            易知此時c,d的解有(5,20)(6,12)
a=3時
   1/b+1/c+1/d=2/3
   設b>=5
   則1/b<=1/5,1/c<=1/6,1/d<=1/7
   推得1/b+1/c+1/d<2/3
   則1/b+1/c+1/d必不可能為2/3
   又b>a=3
   故此時b只能為4
   此時
            1/c+1/d=5/12
            若c>=6
            則1/c<=1/6,1/d<=1/7
            推得1/c+1/d<5/12
            此時無解
            又c>b=4
            所以c只有可能為5
            但此時1/c=13/60
            推得c=60/13不為整數
            無解
由以上可知a,b,c,d有(2,3,7,42) (2,3,8,24) (2,3,9,18) (2,3,10,15)  (2,4,5,20) (2,4,6,12)

夢想之月

3^#

發表於 08-7-18 21:45:57 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

回覆 1# 的文章

skywalkerJ.L.

4^#

發表於 08-7-18 22:39:01 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

4.
xsinθ-ycosθ=√(x^2+y^2)
=>x^2+y^2=(xsinθ-ycosθ)^2
由柯西不等式(x^2+y^2)[(sinθ)^2+(-cosθ)^2]≥(xsinθ-ycosθ)^2
等號成立於x/(sinθ)=-y/(cosθ)
=>x^2*(cosθ)^2=y^2*(sinθ)^2

由題意
(sinθ)^2/a^2+(cosθ)^2/b^2=1/(x^2+y^2)
=>[(x^2+y^2)*(sinθ)^2]/a^2+[(x^2+y^2)*(cosθ)^2]/b^2=1
=>x^2*[(sinθ)^2+(cosθ)^2]/a^2+y^2*[(sinθ)^2+(cosθ)^2]/b^2=1
=>x^2/a^2+y^2/b^2=1 #

夢想之月

5^#

發表於 08-7-18 23:13:40 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

15.
a^2-1,2a,a^2+1一定能構成一直角三角形,且其面積為a^3-a
對任意a>=3
(a^3-a)*2>=(a+1)^3-(a+1)
故對於任意一n>=60
必找的到一數a在n和2*n之間
若沒有則取一個最大的a使得a^3-a<n
則n<=(a+1)^3-(a+1)<=2n
矛盾
當12<=n<60時
n到2*n之間必有24 30 60之中的一數 (分別為(6 8 10)(5 12 13)(8 15 17)的直角三角形面積)
故成立

夢想之月

6^#

發表於 08-7-18 23:30:09 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

6.
使用二項式定理展開(1+i)^n可得(C(n,0)-C(n,2)+C(n,4)+C(n.6).....)+i*(C(n,1)-C(n,3)+C(n,5)+C(n,7)......)
由棣美弗定理可得(1+i)^n=((根號2)*(cos(拍/4)+isin(拍/4)))^n=2^(n/2)*(cos(拍/4)+i*sin(拍*n)/4)
又實部會與實部相等
故題目所列等式成立

夢想之月

7^#

發表於 08-7-19 00:01:54 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

18.
xy+yz+zx-2xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-2xyz=xyz+x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2>=0
故原部等式左邊成立
原部等式右邊 <=>  7(x+y+z)^3>=27(xyz+x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2)
                  <=>  7(x^3+y^3+z^3)+15xyz>=6(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2)
                  <=> 6(x^3+y^3+z^3)+18xyz>=6(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2)  註1
                  <=> x^3+y^3+z^3+3xyz>=x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2
                        而此不等式即為蕭爾不等式(不需要重證吧(汗))
故得證
註1:由算幾不等式可得x^3+y^3+z^3>=3xyz

skywalkerJ.L.

8^#

發表於 08-7-19 09:33:53 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

1.
[ABC]=1/2*(a+b+c)*r=1/2*a*h_a
=>h_a=[(a+b+c)/a]*r
同理得h_b=[(a+b+c)/b]*r,h_c=[(a+b+c)/c]*r
由題意h_a+h_b+h_c=(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)*r=9r
又由柯西不等式(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)≧9
等號成立於[a/(1/a)]=[b/(1/b)]=[c/(1/c)]
=>a^2=b^2=c^2
=>a=b=c，故ABC為正三角形

skywalkerJ.L.

9^#

發表於 08-7-19 18:11:16 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

9.
a-b=3b^2-2a^2
假設a-b非完全平方數
易知對任意x∈Z,x^2≡0,1(mod3)
故3b^2-2a^2=a-b≡2(mod3)
=>3b^2-2a^2≡a^2≡2(mod3)(矛盾)
故a-b為完全平方數
又2a^2+a=3b^2+b
=>(a-b)(2a+2b+1)=b^2
因為a-b,b^2皆為完全平方數
故2a+2b+1亦為完全平方數

skywalkerJ.L.

10^#

發表於 08-7-19 18:45:53 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

11.已知a,b為銳角且3(sina)^2+2(sinb)^2=1,3sin2a-2sin2b=0，求證a+2b=π/2

3(sina)^2+2(sinb)^2=3*(1-cos2a)/2+2*(1-cos2b)/2=1
=>3cos2a=3-2cos2b
又3sin2a=2sin2b
上兩式平方相加得cos2b=1/3>0(2b為銳角)，故sin2b=2√2/3
從而sin2a=4√2/9
cos2a=7/9=1-2(sina)^2
=>sina=1/3
故1/3=sina=cos2b=sin(π/2-2b)
故a=π/2-2b
=>a+2b=π/2