2008暑假挑戰

aeoexe

5.設a,b為方程的根,
a+b=2^(5/4)
ab=2^(3/2)-sinx-cosx
(a-b)^2=(a+b))^2-4ab
            = 2^(5/2)-4*2^(3/2)+4(sinx+cosx)
            = 4(sinx+cosx)-2^(5/2)
            =4*sqrt(2)*sin(x+45º)-4*sqrt(2)
因為(a-b)^2≥0且sin(x+45º)≤1,所以sin(x+45º)必須等於1,所以x=45º(銳角三角形)
且根據上式,可得a=b,
a+b=2^(5/4) =>a=2^(1/4)
如果x並非兩邊的夾角的話,就會得出該三角形為等腰直角三角形,與題目不符
所以x為兩邊的夾角,所以三角形ABC=(2^(1/4)^2*sinx/2
                                                               =sqrt(2)*[sqrt(2)/2]/2
                                                               =1/2
故得証

[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-7-19 19:51 編輯 ]

skywalkerJ.L.

5.
x^2-2^(5/4)x+[2^(3/2)-sinα-cosα]=0有2正實根
判別式=[2^(5/4)]^2-4*+[2^(3/2)-sinα-cosα]≧0
=>2^(5/2)-2^(7/2)+4(sinα+cosα)≧0
=>sinα+cosα≧√2
又易知√2≧sinα+cosα，故sinα+cosα=√2(此時α=45度)

令兩根為a.b
ab=2^(3/2)-sinα-cosα=2√2-√2=√2
當α非a,b夾角時，此三角形為直角三角形(不合)
故[ABC]=1/2*√2*sin45=1/2  #

夢想之月

19.
若一個數是完全平方數則mode16一定會≡0或1或4或9
if d≡0(mode 16) 則2d-1≡15(mode 16)必不為完全平方數
if d≡1(mode 16) 則13d-1≡12(mode 16)必不為完全平方數
if d≡2(mode 16) 則2d-1≡3(mode 16)必不為完全平方數
if d≡3(mode 16) 則2d-1≡5(mode 16)必不為完全平方數
if d≡4(mode 16) 則2d-1≡7(mode 16)必不為完全平方數
if d≡5(mode 16) 則5d-1≡8(mode 16)必不為完全平方數
if d≡6(mode 16) 則2d-1≡11(mode 16)必不為完全平方數
if d≡7(mode 16) 則2d-1≡13(mode 16)必不為完全平方數
if d≡8(mode 16) 則2d-1≡15(mode 16)必不為完全平方數
if d≡9(mode 16) 則5d-1≡12(mode 16)必不為完全平方數
if d≡10(mode 16) 則2d-1≡3(mode 16)必不為完全平方數
if d≡11(mode 16) 則2d-1≡5(mode 16)必不為完全平方數
if d≡12(mode 16) 則2d-1≡7(mode 16)必不為完全平方數
if d≡13(mode 16) 則13d-1≡8(mode 16)必不為完全平方數
if d≡14(mode 16) 則2d-1≡11(mode 16)必不為完全平方數
if d≡15(mode 16) 則2d-1≡13(mode 16)必不為完全平方數
故得證

夢想之月

12
原不等式<=>((a+b)+(b+c)+(c+a))(loga b/(a+b)+logb c/(b+c)+logc a/(c+a))>=9
由柯西不等式可得((a+b)+(b+c)+(c+a))(loga b/(a+b)+logb c/(b+c)+logc a/(c+a))
                           >=((loga b)^(1/2)+(logb c)^(1/2)+(logc a)^(1/2))^2
又由算幾不等式得((loga b)^(1/2)+(logb c)^(1/2)+(logc a)^(1/2))/3
                           >=((loga b)^(1/2)*(logb c)^(1/2)*(logc a)^(1/2))^(1/3)=1
                     <=>((loga b)^(1/2)+(logb c)^(1/2)+(logc a)^(1/2))>=3
故原式成立

xvmon123

3.
設切點(c,d)橢圓切線即為cx/a^2+dy/b^2=1
故交X軸於(a^2/c,0)
        Y軸於(0,b^2/d)
=>AB=(AB^2)^1/2=(AB^2*1)^1/2=[((a^2/c)^2+(b^2/d)^2)((c/a)^2+(d/b)^2)]^1/2>=[(a+b)^2]^1/2=|a+b|>=a+b

偷偷問下
13是用算幾嗎??

[ 本文章最後由 xvmon123 於 08-7-20 13:00 編輯 ]

夢想之月

我的作法算幾只算其中一部份

夢想之月

13.
令a=x/y+y/x
由算幾不等式可知a>=2
原不等式<=> a^4-5a^2+a+2>=0
                <=>(a-2)((a-2)^3+8(a-1)^2+(3a-1))>=0
因為a>=2,故上式恆成立
得證

夢想之月

7.
   (2^(1/4))*(4^(1/8))*(8^(1/16))*(16^(1/32))*......
=2^(1*(1/4)+2*(1/8)+3*(1/16)+4*(1/32)+......)
令S=1*(1/4)+2*(1/8)+3*(1/16)+4*(1/32)+......
2*S-S=(1*(1/2)+2*(1/4)+3*(1/8)+4*(1/16)+......)-(1*(1/4)+2*(1/8)+3*(1/16)+4*(1/32)+......)
          =1/2+1/4+1/8+1/16+......
          =(1/2)/(1-(1/2))
          =1
所以S=1
故(2^(1/4))*(4^(1/8))*(8^(1/16))*(16^(1/32))*......=2^1=2

夢想之月

10.
|x|<=1時,|ax^2+bx+c|<=1------------(1)
(1)式x=1帶入=>|a+b+c|<=1----------(2)
(1)式x=-1帶入=>|a-b+c|<=1----------(3)
(1)式x=0帶入=>|c|<=1-----------------(4)
當|x|<=1時
(2)*(1-x)/2+(3)*(1+x)/2+(4)*(1-x^2)=>|a+b+c|*(1-x)/2+|a-b+c|*(1+x)/2+|c|*(1-x^2)<=(1-x)/2+(1+x)/2+(1-x^2)
                                                            =>|a-bx+cx^2|<=2-x^2<=2
故得證

aeoexe

31.麻煩大家了..
     請看下圖..