2008暑假挑戰

夢想之月

36.
令S0=0,
    Si=a1+a2+a3+...+ai(1<=i<=m)
由抽屜原理可知:S0,S1,S2,...,Sm中必可找到兩數同餘mode m
其中小的為Sk-1,大的為Sl
則易知k,l即為所求

//發現一題高中就解的出來的東西

turnX

~第30題~
跑客串中.....

aeoexe

16.設x1≥x2≥x3
x1≥0　
abs.(a11*x1)≥abs.[(a12+a13)*x2]≥abs.(a12*x2+a13*x3)
所以第一式必定不等於0,除了x1=x2=x3=0
x1≤0,
abs.(a33*x3)≥abs.[(a31+a32)*x2]≥abs.(a31*x1+a32*x2)
所以第3式並不等於0,除了x1=x2=x3=0的情況下..
如此類推,在任何情況下,三式必有一式不等於0,除了x1=x2=x3=0的情況下,
故惟一解為x1=x2=x3=0,得證
註:因本人眼力問題,abs.()為絕對值

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aeoexe

25.請看下圖..


[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-7-23 08:44 編輯 ]

夢想之月

17.
令a1,a2,...,am構成集合A
設A中最小的數為s0
由題目條件可知s0+s0=2s0也在A中
則2s0+s0=3s0也在A中(若2s和3s都不超過n)
依此類推
故所有s0不超過n的倍數都在A中
令d0為使得d0*s0<=n但(d0+1)*s0>n的數
則1*s0 至 d0*s0都在A中
這些數的和為d0*((d0+1)*s0)/2
顯然d0*s0+s0>=n+1,否則(d0+1)*s0<=n,矛盾
故d0*((d0+1)*s0)/2>=d0*(n+1)/2
接下來令si為A中除以s餘i中最小的數
令di為使得di*s0+i<=n但(di+1)*s0+i>n的數
同理可得si到di*s0+i的和>=di*(n+1)/2
d0+d1+...+dk即為m(註:k=d0-1)
故A中所有數的和>=(d0+d1+...+dk)*(n+1)/2  
                     =>(a1+a2+...+am)/m>=(n+1)/2

aeoexe

21.


[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-7-23 09:09 編輯 ]

aeoexe

29.上圖證明下圖解..



[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-7-24 11:34 編輯 ]

aeoexe

28.
w+2x-y=4...(1)
x-y=3...(2)
w+3x-2y=7...(3)
2u+4v+w+7x=7...(4)

由(2),可得x=3+y
由(2)及(1),可得w=-(2+y)
代x=3+y,w=-(2+y),
2u+4v+-(2+y)+7(3+y)=7
2u+4v+6y=-12
u+2v+3y=-6
此為一次不等方程,
故可得u,v,y有無限多解..
同時因為x,w的數值因y的數值而改變..
所以x,w也有無限多解..
下面三組正為其中三個解..
u=-6,v=0,y=0,x=3,w=-2
u=-1,v=-1,-y=-1,x=2,w=-1
u=3,v=0,y=-3,x=0,w=1

夢想之月

14.
令√a+√b+√c=d
=>√a+√b=d-√c
=>a+b+2√(ab)=d^2+c-2d√c
=>2√(ab)=d^2+c-a-b-2d√c
=>4ab=(d^2+c-a-b)*2d√c+(d^2+c-a-b)^2+4d^2c
故可知√c是有理數
令√c=q/p且p,q為互質的正整數
=>p^2*c=q^2
分別將p^2*c和q^2質因數分解
由算數基本定理可知有唯一分解方式
但q^2的每個質因數的次方都是偶數
故c質因數分解後也必須每個質因數的次方是偶數
所以c必為完全平方數
同理a,b也為完全平方數

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夢想之月

8.
a=bCOS C+cCOS B----------(1)
b=aCOS C+cCOS A----------(2)
c=aCOS B+bCOS A----------(3)
(1)*a+(2)*b-(3)*c=>a^2+b^2-c^2=2abCOS C-----(4)
(2)*b+(3)*c-(1)*a=>b^2+c^2-a^2=2bcCOS A-----(5)
(3)*c+(1)*a-(2)*b=>c^2+a^2-b^2=2caCOS B-----(6)
c^2*(4)^2+a^2*(5)^2+b^2*(6)^2+(4)*(5)*(6)
=>4(abc)^2=4(abc)^2((COS C)^2+(COS A)^2+(COS B)^2+2COS A*COS B*COS C)
又abc不同為0
故左右同除以4(abc)^2
及得到(COS C)^2+(COS A)^2+(COS B)^2+2COS A*COS B*COS C=1
故得證
//嫌我略過太多東西的話我在慢慢補上吧!