挑戰129

M.N.M.

國中
1.解方程式:ab(x^2)-(a^4 +b^4)x+(a^3)(b^3)=0

2.在有獎銷售活動中，若摸到的獎券的六位號碼前三位數字與後三位數字完全相同，則該顧客就是幸運的，將得到一份獎品，試證明所有幸運者摸到的獎券號碼之和一定是13的倍數

3.試求所有3是2^n +1的因數之正整數n

高中
1.解方程組
5(x^2)+4(y^2)-10x+5y=0
4(x^2)+5(y^2)+5x-10y=0

2.解方程
(3/x)+[1/(x-1)]+[4/(x-2)]+[4/(x-3)]+[1/(x-4)]+[3/(x-5)]=0

3.求lim(n→無限) {(1/p)+[2/(p^2)]+[3/(p^3)]+...+[n/(p^n)]}=? ，p>1

aeoexe

1.解方程式:ab(x^2)-(a^4 +b^4)x+(a^3)(b^3)=0
a,b不等於0,否則此式無解..
delta=(a^4+b^4)^2-4(a^3b^3)(ab) >or= 0
         (a^4+b^4)^2-4(a^4)(b^4)>or= 0
         (a^4-2a^2b^2+b^4) (a^4+2a^2b^2+b^4)>or= 0
         (a^2-b^2)^2*(a^2+b^2)^2 >or= 0
所以ab(x^2)-(a^4 +b^4)x+(a^3)(b^3)=0必定有實數根..
x=[(a^4 +b^4) +or- sqrt(delta)]/2ab
x=[(a^4 +b^4) +or- (a^4-b^4)]/2ab
x=a^3/b or b^3/a

2.在有獎銷售活動中，若摸到的獎券的六位號碼前三位數字與後三位數字完全相同，則該顧客就是幸運的，將得到一份獎品，試證明所有幸運者摸到的獎券號碼之和一定是13的倍數
所以幸運者摸到的六位號碼也是abcabc的排列..
abcabc=1001*abc=7*11*13*abc
所以所以摸到的獎券號碼也是13的倍數,
所以幸運者摸到的獎券號碼之和一定是13的倍數.

1.解方程組
5(x^2)+4(y^2)-10x+5y=0................(1)
4(x^2)+5(y^2)+5x-10y=0................(2)

4x^2+4y^2=10x-5y-x^2
4x^2+4y^2=10y-5x-y^2
10x-5y-x^2=10y-5x-y^2
x^2-y^2-15(x-y)=0
(x+y-15)(x-y)=0
x=y or x=15-y
Sub x=y into (1)
x=0 or 5/9,y=0 or 5/9
Sub x=15-y into (1)
得虛數根
所以x=y=0 or 5/9

[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-10-14 01:17 編輯 ]

傲月光希

3.試求所有3是2^n +1的因數之正整數n

若n=2k+1是奇數，很明顯2^n+1=(2+1)[2^(n-1)-2^(n-2)+...+1]是3的倍數
2^(2k+1)+1=2*(4^k)+1≡2*(1^k)+1 (mod 3)≡3 (mod 3)≡0 (mod 3)
接著，我們要來證明n是偶數時不成立

設n=2k是偶數。則2^n+1=2^(2k)+1=4^k+1≡1^k+1 (mod 3)≡2 (mod 3)

skywalkerJ.L.

3.求lim(n→無限) {(1/p)+[2/(p^2)]+[3/(p^3)]+...+[n/(p^n)]}=? ，p>1

令Sn={(1/p)+[2/(p^2)]+[3/(p^3)]+...+[n/(p^n)]....(1)
1/p*Sn=[1/(p^2)]+[2/(p^3)]+[3/(p^3)]+...+[(n-1)/(p^n]+[n/p^(n+1)].....(2)
(1)-(2)
=>(1-1/p)Sn=1/p+1/(p^2)+1/(p^3)+....+1/(p^n)-[n/p^(n+1)]
                      =[1-1/(p^n)]/(p-1)-[n/p^(n+1)]
故Sn=[1-1/(p^n)]*p/[(p-1)^2]-n/[p^n*(p-1)]
lim(n→無限)Sn
=lim(n→無限){[1-1/(p^n)]*p/[(p-1)^2]-n/[p^n*(p-1)]}
=p/[(p-1)^2]

aeoexe

1.解方程式:ab(x^2)-(a^4 +b^4)x+(a^3)(b^3)=0
a=b=0的情況,ab(x^2)-(a^4 +b^4)x+(a^3)(b^3)=0,得0=0,此方程無解...
a=0,b不等於0的情況,得(b^4)x=0,得x=0
a不等於0,b=0的情況,得(a^4)x=0,得x=0,
兩者皆不等於0的情況:
delta=(a^4+b^4)^2-4(a^3b^3)(ab) >or= 0
         (a^4+b^4)^2-4(a^4)(b^4)>or= 0
         (a^4-2a^2b^2+b^4) (a^4+2a^2b^2+b^4)>or= 0
         (a^2-b^2)^2*(a^2+b^2)^2 >or= 0
所以ab(x^2)-(a^4 +b^4)x+(a^3)(b^3)=0必定有實數根..
x=[(a^4 +b^4) +or- sqrt(delta)]/2ab
x=[(a^4 +b^4) +or- (a^4-b^4)]/2ab
x=a^3/b or b^3/a
所以如a=b=0的情況,此方程無解..
a,b其中一個為0的情況,x=0
a,b皆不等於的情況,x=a^3/b or b^3/a

2.解方程
x不等於0,1,2,3,4,5,否則會出現1/0的情況
(3/x)+[1/(x-1)]+[4/(x-2)]+[4/(x-3)]+[1/(x-4)]+[3/(x-5)]=0
[3/x+3/(x-5)]+[1/(x-1)+1/(x-4)]+[4/(x-2)+4/(x-3)]=0
3(2x-5)/(x^2-5x)+(2x-5)/(x^2-5x+4)+4(2x-5)/(x^2-5x+6)=0
Let k=x^2-5x
(2x-5)[3/k+1/(k+4)+4/(k+6)]=0
x=5/2 or [3/k+1/(k+4)+4/(k+6)]=0

[3/k+1/(k+4)+4/(k+6)]=0               
8k^2+52k+72=0
k=-2 or-4.5
x^2-5x+2=0 or x^2-5x+4.5=0
x=[5+sqrt(17)]/2 or [5-sqrt(17)]/2 or [5+sqrt(7]/2 or [5-sqrt(7)]/2
所以x=5/2 or [5+sqrt(17)]/2 or [5-sqrt(17)]/2 or [5+sqrt(7]/2 or [5-sqrt(7)]/2