幾個問題

event1290002

１　已知A、Ｂ、Ｃ、Ｄ均為實數，且Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝４，Ａ^2+B^2+C^2+D^2=16 　求Ａ最大值
２　已知△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２∠Ｂ，線段ＡＣ＝９，線段ＡＢ＝７，則線段ＢＣ＝？
３　已知菱形ＡＢＣＤ中，△ＡＢＤ與△與ＡＣＤ的外接圓直徑為２５和５０，求此菱形的面積
４　已知Ａ、Ｂ皆為實數，且Ｂ為Ａ的小數部份，若Ａ＋Ｂ^2為一正整數，則Ｂ＝
５　已知Ａ、Ｂ皆為正整數，且滿足７／１３ ＜Ａ／Ａ＋Ｂ ＜６／１１，若對於給定的Ａ，只有唯一的一個Ｂ使不等式成立，試問Ａ的最大值與最小值的差
６　四邊形ＡＢＣＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ，∠ＡＢＤ＝∠ＢＣＤ，線段ＡＢ＝８，線段ＢＤ＝１０　
線段ＢＣ＝６，則線段ＣＤ＝

抱歉，確實打錯了

[ 本文章最後由 event1290002 於 08-11-9 13:00 編輯 ]

yaya741228

原帖由 event1290002 於 08-11-4 13:09 發表
１　已知A、Ｂ、Ｃ、Ｄ均為實數，且Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝４，Ａ^2+B^2+C^2+D^2=16 　求Ａ最大值

題目是不是少打一個 [2] 阿?
這題我本來以為是用柯西來解
但是最後卻變成
16*4 >= 16
沒什麼意義...
但是這題似乎一眼就可以看出A的MAX是4
直接就是4了XD
算試不明....

yaya741228

原帖由 event1290002 於 08-11-4 13:09 發表
２　已知△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２∠Ｂ，線段ＡＣ＝９，線段ＡＢ＝７，則線段ＢＣ＝？

這題把圖畫出來就可以知道有幾個要素
1. 2倍角定理
2. 餘旋定理
3. 正旋定理

首先當然是把角B定為 Θ
線段CB定為X
看圖可以直接得到2個餘旋定理的式子
[1] 9^2 = X^2+7^2-2*7XcosΘ
[2] X^2 = 9^2+7^2-2*9*7cos2Θ
運用倍角定理,整理後得
[1] X^2 = 256-252cos^2 Θ
[2] X^2 = 32+14XcosΘ

但是看的出來,雖然2式2未知數應該可以得解
但是2未知數都有平方項,很難搞
因此尋求正旋定理的幫助
9/sinΘ = X/sin2Θ
運用倍角定理,整理後得
cosΘ = X/18

太完美了
趕快把他代入[2]
X^2 = 32+14X*(X/18)
X^2 = 144
取正 X = 12

[ 本文章最後由 yaya741228 於 08-11-9 09:35 編輯 ]

yaya741228

原帖由 event1290002 於 08-11-4 13:09 發表
３　已知菱形ＡＢＣＤ中，△ＡＢＤ與△與ＡＣＤ的外接圓直徑為２５和５０，求此菱形的面積

這題設計很巧妙阿= =
運用了
1. 圓周角與圓心角的概念
2. 倍角定理
先畫圖吧...
可以知道菱形可分為上下2等腰三角形與左右2等腰三角形
且AC與BD垂直,設AC與BD的交點為P
只要求出PA與PB就可以知道答案了(三角形APB面積的4倍就是菱型面積)

先看大的圓好了,也就是△ＡＣＤ的外接圓
由於設圓心角為Θ的話,會出現圓周角的半角,個人偏好倍角
因此就設圓周角為Θ,圓心角為2Θ
已知大圓直徑50,則半徑為25
可得AP長度為25sin2Θ

OK,接下來是比較巧性的一段
弧AB為Θ度,我們把圓周角的點移到C
得角ACB為Θ度
菱形的性質,角PAD.角PAB也都是Θ度

這有什麼用呢?
這表示大小2圓開始有了關連
(大圓的Θ,小圓也可以用了)

看看小圓△ＡＢＤ外接圓
先命個名...設小圓直徑過AOA'
也就是直徑A的另一頭是A'
剛剛提到角PAD是Θ
所以A'AD也是Θ(同一個角)
而且由於AA'是直徑,因此角ADA'是直角(太棒了)
看三角形AA'D
AA"直徑為25,得AD為25cosΘ

看三角形APD
可得算試
cosΘ*25cosΘ = 25sin2Θ

運用倍角公式整理後可得
tanΘ = 1/2
答案呼之欲出了
得到
PA=20
PB=10
菱形面積=400

[ 本文章最後由 yaya741228 於 08-11-9 10:40 編輯 ]

‧幻星〞

原文由 event1290002 於 08-11-4 21:09 發表
１　已知A、Ｂ、Ｃ、Ｄ均為實數，且Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝４，Ａ^2+B^2+C^2+D^=16 　求Ａ最大值

B+C+D=4-A
A^2+B^2+C^2=16-A^2
由算幾不等式得
3(B^2+C^2+D^2)≧(B+C+D)^2
3(16-A^2)≧(4-A)^2
A^2-2A-8≦0
(A-4)(A+2)≦0
-2≦A≦4
A最大值為4

原文由 event1290002 於 08-11-4 21:09 發表
２　已知△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２∠Ｂ，線段ＡＣ＝９，線段ＡＢ＝７，則線段ＢＣ＝？

作∠A角平分線交BC於D，則AD=BD且△ACD相似於△BCA
設CD=x,AD=BD=y
則CD：AC=x：y=9：7
→y=7/9*x

AC：AD=BC：AB
9：7/9*x=16/9*x：7
→x=27/4
BC=16/9*x=12

原文由 event1290002 於 08-11-4 21:09 發表
３　已知菱形ＡＢＣＤ中，△ＡＢＤ與△與ＡＣＤ的外接圓直徑為２５和５０，求此菱形的面積

設邊長=x,BD=y,AC=z,1/2*^菱形面積=T
△ABD外接圓半徑=x^2y/4T
△ACD外接圓半徑=x^2z/4T
△ABD外接圓半徑/△ABD外接圓半徑=1/2=y/z
→z=2y
x=根號5/2y
△ABD外接圓半徑=根號5/2y*根號5/2y*y/2y^2=25/2
y=20
z=40
面積=20*40/2=400

yaya741228

原帖由 event1290002 於 08-11-4 13:09 發表
４　已知Ａ、Ｂ皆為實數，且Ｂ為Ａ的小數部份，若Ａ＋Ｂ^2為一正整數，則Ｂ＝

這題有關數論
如果B為A的小數部份
要討論A+B^2為一正整數的話
就與A的整數部分無關
因此把題目範圍縮小至討論B+B^2的結果

OK...如果直接說B是一個小數,很難討論
因此把B化為一分數來討論
令B=b/a   其中a>b
B+B^2就等於 b/a + b^2/a^2
通分相加得
(b^2+ab)/a^2為一正整數

因0<B<1
因此0<B^2<1
0< B+B^2 <2
所以(b^2+ab)/a^2為一正整數的話必為1
得式子(b^2+ab)/a^2 = 1
設a為變數b為常數整理後(用一元二次方程式求解)
(正不合,取負)
得a = (1+√ 5) / 2
B = b/a = (√ 5-1) / 2 ≒ 0.618033988

‧幻星〞

原文由 event1290002 於 08-11-4 21:09 發表
４　已知Ａ、Ｂ皆為實數，且Ｂ為Ａ的小數部份，若Ａ＋Ｂ^2為一正整數，則Ｂ＝

設A=C+B
則C為整數
A+B^2=C+B+B^2為整數
顯然B+B^2=1
B=1/2(-1+根號5) or 1/2(-1-根號5)
負的不合
得B=1/2(-1+根號5)

原文由 event1290002 於 08-11-4 21:09 發表
５　已知Ａ、Ｂ皆為正整數，且滿足７／１３ ＜Ａ／Ａ＋Ｂ ＜６／１１，若對於給定的Ａ，只有唯一的一個Ｂ使不等式成立，試問Ａ的最大值與最小值的差

取倒數
13/7>(A+B)/A>11/6
6/7*A>B>5/6*A
6/7*A-5/6*A≦2
1/42*A≦2
A≦84

[6/7*A]-[5/6*A]=1
得A≧13

84-13=71