2009寒假活動

M.N.M.

期限2/15

獎勵辦法
每題答對可以加2枚聲望，一次最多回覆5題(小題中挑一題也算一題
最後會總結答題數排名作獎勵
第一名鐵幣2000，聲望+100
第二名鐵幣1000，聲望+50
第三名鐵幣500，聲望+25

例外:第十一題一題聲望+1，且一人只能挑兩題
--------------------------------------------------------------
1.

2.

3.

4.


5.

右下是'則a值為何
6.

7.

8.

f(n)=n-3   n>=2010
9.

10.

右邊是'是否正確'
11.

12.

右邊是'兩倍的三角形
13.

14.

15.

f(x)的x改成n
16.

17.

18.

19.

20.

右邊是'的所有實根'
21.

22.

右邊是'求x的值'
23.

24.

25.


[ 本文章最後由 M.N.M. 於 09-1-18 18:45 編輯 ]

傲月光希

18.

23.

11(3)

    公式解(打錯成"攻勢解")

[ 本文章最後由 傲月光希 於 09-1-19 13:03 編輯 ]

‧幻星〞

3.
取倒數得8/9>y/x>7/8
8/7y>x>9/8y
8/7y-9/8y<=2
1/56y<=2
y<=112
故答案為112

7.

可看作方程式
x^2/(s-1^2)+y^2/(s-3^2)+z^2/(s-5^2)+w^2/(s-7^2)+t^2/(s-9^2)=1
的解為2^2,4^2,6^2,8^2,10^2
故上式係數應該跟(s-2^2)(s-4^2)(s-6^2)(s-8^2)(s-10^2)=0相同

x^2/(s-1^2)+y^2/(s-3^2)+z^2/(s-5^2)+w^2/(s-7^2)+t^2/(s-9^2)=1中
s^4的係數為-(x^2+y^2+z^2+w^2+t^2+165)

(s-2^2)(s-4^2)(s-6^2)(s-8^2)(s-10^2)=0中
s^4係數為-220

可知x^2+y^2+z^2+w^2+t^2+165=220
x^2+y^2+z^2+w^2+t^2+1952=2007

‧幻星〞

22.
|x-1|+|x-2009|可看成座標上x到1的距離和x到2009距離的和
故x只要在1~2009之間|x-1|+|x-2009|值都不會變且最小
同理|x-1004|+|x-1006|得1004<=x<=1006
再由|x-1005|要最小得f(x)最小值時x=1005

12.
設三邊為x+y,y+z,z+x
則2[(xyz)xyz]^(1/2)=2(x+y+z)
兩邊平方得
xyz=x+y+z
易證x,y,z都要為整數否則三邊不為整數
設x>=y>=z
得x<xyz<=3x→1<yz<=3
可得(x,y,z)=(3,2,1)
故只有一組解
三邊為5,4,3的三角形

‧幻星〞

25.

設邊長x
最短對角線為a
第二短的對角線為k
第二長的對角線為h
則最長的對角線為a+x

由托勒密定理
可得xk+x^2=a^2
和x(a+x)+xh=a(a+x)

顯然k=h

即此正n邊形只有三種長度的對角線

即n=9


6.

15xz=16y^2

1/x+1/z=2/y

4/y^2=(x+z)^2/(xz)^2

64/(15xz)=(x^2+z^2+2xz)/(xz)^2

64/15=(x^2+z^2+2xz)/(xz)

34/15=(x^2+z^2)/(xz)=x/z+z/x

答為34/15

aeoexe

11.(4)反例:x│x│+0*x+4=0
                 0^2-4*4=-16<0
                   如果x> or = 0,x^2+4=0(無實根)
                   如果x< or = 0,-x^2+4=0
                                            x= 2 or-2

20.(2x^2-3x+1)^2-22x^2+33x-1=0
     (2x^2-3x+1)^2-22x^2+33x-11+10=0
     (2x^2-3x+1)^2-11(2x^2-3x+1)+10=0
     2x^2-3x+1-10= or 2x^2-3x+1-1=0
     x=3 or -3/2 or 0 or 3/2

13.如果甲乙戶均為24度以下,收費之差為0.9的倍數,但不是,所以錯誤..
     如果甲乙戶均為24度以上,收費之差為2的倍數,但不是,所以錯誤,
    所以只能甲戶用電為24度以上,乙戶為24度以內.
    設甲戶所用的電為m度,乙戶為n度,m,n均為正整數
    24*0.9+(m-24)*2=9.6+n*0.9
    (24-n)*0.9+(m-24)*2=9.6
    (24-n)*0.9必為.6作尾,所以24-n為4,(如果大於4則大於9.6)
    n為20,則m為27..
    所以甲戶需要交24*0.9+2*3=27.6角,乙戶需要交20*0.9=18角

10.n^2+n+17,如果n為16,16^2+16+17=17*17,不是質數,所以命題不正確..

9.如果50個數也是偶數的話,就沒有可能有差為7,
   能得到50個偶數的最少情況是n=100,所以n的最大值為99..

[ 本文章最後由 aeoexe 於 09-1-18 11:25 編輯 ]

‧幻星〞

1.

(x-y-z)(x^2+y^2+z^2+xy+xz-yz)=0

x^2+y^2+z^2+xy+xz-yz>x^2+y^2+z^2+xy+xz-2yz=x^2+(y-z)^2+x^3/2>0

故x-y-z=0
x-x^2/2=0
x=2 or 0(不合)
得解(x,y,z)=(2,1,1)


21.

R_2009=3^2009+3^2007*2^1+3^2005*2^2+...+3^1*2^1004

又3^(4k-1)*2^(4t+1)+3^(4k+1)*2^(4t+2)+3^(4k-1)*2^(4t+3)+3^(4k+1)*2^(4t+4)個位數為0

故R_2009的個位數和3^2009的個位數相同為3


2.

不訪設a>0,b<0,c<0

可設b=-x,c=-y

故為題變為a-x-y=0,axy=2

要求a+x+y的最小值

a+x+y=2a即求a的最小值

a^2=(x+y)^2>=4xy=8/a

故a^3>=8

a最小值為2

故所求為4

‧幻星〞

4.

即證明[A(T)-(A(R1)+A(R2)+..+A(Rn))]/A(T)最小值1/(n+1)

我們可以把矩形兩旁的直角三角形拼成一個和T相似的三角形

這樣的三角形有n個加最上面的三角形共有n+1個三角形

設T左邊的邊為x,n+1個三角形左邊的邊分別為a1,a2,...a(n+1)

可得a1+a2+..+a(n+1)=x

要求(a1/x)^2+(a2/x)^2+...+(a(n+1)/x)^2的最小值

由算幾不等式
(a1^2+a2^2+...+a(n+1)^2)/(n+1)>=((a1+a2+..+a(n+1))/n)^2
得a1^2+a2^2+...+a(n+1)^2>=x^2/n

(a1/x)^2+(a2/x)^2+...+(a(n+1)/x)^2
=1/x^2(a1^2+a2^2+..+a(n+1)^2)>=1/(n+1)

得證


9.

1~n分成7組7k-6,7k-5,7k-4,7k-3,7k-2,7k-1,7k

50=7*7+1

可知每組最多只能選7個數且這7個數相差不為7
n要最大則k要=2*7=14

n最大為7*14=98




14.

如附件圖

正△ABO的邊長為2
以AB為直徑畫一圓
以O為圓心√7為半徑畫一圓
兩圓交於C1,C2
則△ABC1,△ABC2為所求三角形

設O為原點
AB平行x軸且交y軸於D
D點座標(0,-√3)

兩圓方程式為x^2+y^2=7
x^2+(y+√3)^2=1

解得y=3/2*√3,x=1/2

易得三角形的直角邊為1,√3

[ 本文章最後由 ‧幻星〞 於 09-1-18 13:06 編輯 ]

aeoexe

15.

16.設乙跟甲相遇時,所走的路程為x,則甲走的路程為x+12,全程則為2x+12
    甲經過4+2/3小時到達Q,所以甲的速度為3x/14
    乙經過7+5/7小時到達P,所以乙的速度為7(x+12)/54
    因為甲乙相遇時,兩人使用時間相同,
    所以(x+12)/(3x/14)=x/[7(x+12)/54]
    x=42 or-5.25(rej.)                     
    所以PQ的全程為2*42+12=96

11.(2)看下圖,設正方形的邊長為a,
         左圖,將AC及BD連起來交於P,PA=PB=PC=PD(property of square)
         三角形PAB,PBC,PCD,PDA,當然是等腰三角形,
         右圖,設一點P,令PCD為等邊三角形,PD=PC=BC=DA,
         所以PBC,PDA,PCD為等腰三角形,
         因為PDA跟PBC為全等,所以PAB也是等腰,
         所以ABCD內有2點P,令PAB,PBC,PCD,PDA為等腰三角形
         所以命題不正確..


[ 本文章最後由 aeoexe 於 09-1-18 11:58 編輯 ]

‧幻星〞

17.

設√(a^2-a+1)和√(a^2+a+1)為x、y且夾θ度

三角形面積為A=1/2*xy*sinθ

A^2=1/4*x^2*y^2*(1-cos^2θ)

由餘弦定理

4a^2+3=2a^2+2-2xy*cosθ

移向平方得4a^4+4a^2+1=4x^2*y^2*cos^2θ

A^2=1/4*x^2*y^2*(1-cos^2θ)
=1/4(x^2*y^2-x^2*y^2*cos^2θ)
=1/4(a^4+a^2+1-a^4-a^2-1/4)
=3/16

A=√3/4





24.

設E為原點
射線ED為x軸方向
射線EA為y軸方向
C座標為(√3,1)
A座標為(0,2)
B座標為(2/√3,2)

設M座標為(x,2-y)
則N座標為(√3-x,1-y)

B、M、N共線所以斜率相同
得y/(2/√3-x)=(1+y)/(2/√3-√3+x)=1/(2x-√3)

解得x=1,y=1/√3

可得AC=√3*AM

r=1/√3