三個問題

yuwei1111

問題一:設P是質數,a與b是整數,如果[(a^p)-(b^p)]/p是整數,證明[(a^p)-(b^p)]/(p^2)也是整數                                                                                                             問題二:設x,y,z是整數,如果(x^2)+(y^2)=(z^2),證明這三個數中必有一個是7個倍數                                                                                                             問題三:證明對所有整數x與y,[(x^2)+(y^2)-3]/4不是整數                                                                                                                                                                                                                            希望有詳細過程,感謝解答者,謝謝         

‧幻星〞

原文由 yuwei1111 於 09-7-11 21:39 發表
問題一:設P是質數,a與b是整數,如果[(a^p)-(b^p)]/p是整數,證明[(a^p)-(b^p)]/(p^2)也是整數

由費馬小定理得a^p≡a (mod p), b^p≡b (mod p)
故可知a^p-b^p≡a-b=0 (mod p)
可設a=pt+k,b=pt'+k
又p≧2
且可發現(pt+k)^p和(pt'+k)^p除了k^p那項以外其他都是p^2的倍數
故a^p-b^p為p^2的倍數

原文由 yuwei1111 於 09-7-11 21:39 發表
問題二:設x,y,z是整數,如果(x^2)+(y^2)=(z^2),證明這三個數中必有一個是7個倍數

題目是否有誤?
3^2+4^2=5^2沒有7的倍數

原文由 yuwei1111 於 09-7-11 21:39 發表
問題三:證明對所有整數x與y,[(x^2)+(y^2)-3]/4不是整數

x^2≡0 or 1 (mod 4)
故x^2+y^2≡0,1,2都和3不同餘
故[(x^2)+(y^2)-3]/4不是整數

M.N.M.

應該是x^3+y^3=z^3吧

設x，y，z必為7k，7k+1，7k+2，7k+3，7k+4，7k+5，7k+6 (其中k為整數)

                   三方後除以7之餘數
7k                            0
7k+1                        1
7k+2                        1
7k+3                        6
7k+4                        1
7k+5                        6
7k+6                        6

x^3    y^3     z^3(x^3+y^3)
0        0          0     (o)
0        1          1     (o)
1        6          0     (o)
0        6          6     (o)
1        1          2     (x)
6        6          5     (x)

所以三個數中必有一個是7個倍數

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 09-7-12 17:27 編輯 ]